Exercice 34

1.

2. D'après la formule des probabilités totales : $$P(B)=P(A)\times P_{A}(B)+P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(B)=0{,}4\,x+0{,}6\times 0{,}2$$

3. $0{,}4x+0{,}12=0{,}3 \iff 0{,}4x=0{,}18 \iff \boxed{x=0{,}45}$

4. Les événements sont indépendants si et seulement si $P_{A}(B)=P(B)$, soit $$x=0{,}4x+0{,}12 \iff 0{,}6x=0{,}12 \iff \boxed{x=0{,}2}$$ Interprétation : on retrouve $x=P_{\overline{A}}(B)=0{,}2$. L'indépendance signifie exactement que la probabilité de $B$ est la même selon que $A$ est réalisé ou non — les deux branches de l'arbre portent alors la même valeur.

5. $0{,}4x+0{,}12\geqslant 0{,}4 \iff 0{,}4x\geqslant 0{,}28 \iff \boxed{x\geqslant 0{,}7}$

6. La fonction $x\mapsto 0{,}4x+0{,}12$ est affine de coefficient directeur $0{,}4>0$, donc croissante. Ses valeurs extrêmes sur $[0\,;1]$ sont atteintes aux bornes : $$P(B)=0{,}12 \text{ pour } x=0 \qquad\text{et}\qquad P(B)=0{,}52 \text{ pour } x=1$$

$$\boxed{P(B) \text{ varie dans l'intervalle } [0{,}12\,;0{,}52].}$$ On remarque que $P(B)$ ne peut jamais dépasser $0{,}52$ : même si $B$ était certain sachant $A$, les $60\,\%$ de cas où $A$ n'est pas réalisé limiteraient le total.

7. $P(A\cap B)=0{,}4x$, donc pour $x\neq 0$ : $$\boxed{P_{B}(A)=\frac{0{,}4\,x}{0{,}4\,x+0{,}12}}$$