ExercicePremière, chapitre 5 — Probabilités conditionnelles · Exercices de synthèse

Exercice 35

ProblèmeCalcul

Une plateforme de streaming propose deux formules d'abonnement. On sait que $40\,\%$ des abonnés ont souscrit l'offre Premium. Parmi les abonnés Premium, $70\,\%$ regardent au moins un film par semaine ; cette proportion tombe à $45\,\%$ chez les autres abonnés.

On interroge un abonné au hasard. On note $P$ l'événement « l'abonné a l'offre Premium » et $F$ l'événement « l'abonné regarde au moins un film par semaine ».

Partie A : étude de la situation

1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

2. Calculer $P(P\cap F)$ et $P(\overline{P}\cap F)$ .

3. En déduire que $P(F)=0{,}55$ .

4. L'abonné interrogé regarde au moins un film par semaine. Calculer la probabilité qu'il ait l'offre Premium. On donnera le résultat sous forme de fraction irréductible.

5. L'abonné interrogé ne regarde pas de film chaque semaine. Calculer la probabilité qu'il ait tout de même l'offre Premium.

6. Les événements $P$ et $F$ sont-ils indépendants ? Justifier.

Partie B : deux abonnés

On interroge maintenant deux abonnés au hasard, de façon indépendante l'un de l'autre. On note $F_{1}$ et $F_{2}$ les événements « le premier abonné regarde au moins un film par semaine » et « le second abonné regarde au moins un film par semaine ».

7. Calculer la probabilité que les deux abonnés regardent au moins un film par semaine.

8. Calculer la probabilité qu'aucun des deux ne regarde de film chaque semaine.

9. En déduire la probabilité qu'au moins l'un des deux regarde au moins un film par semaine.

Partie C : une variable aléatoire

On note $X$ le nombre d'abonnés, parmi les deux interrogés, qui regardent au moins un film par semaine.

10. Quelles sont les valeurs prises par $X$  ?

11. Déterminer la loi de probabilité de $X$ , en s'appuyant sur les résultats de la partie B.

12. Calculer $E[X]$ et interpréter le résultat par une phrase.

13. Calculer $V(X)$ et $\sigma(X)$ , arrondi au centième.

Corrigé

Partie A

2. $P(P\cap F)=0{,}4\times 0{,}7=\boxed{0{,}28}$ et $P(\overline{P}\cap F)=0{,}6\times 0{,}45=\boxed{0{,}27}$

3. $P(F)=0{,}28+0{,}27=\boxed{0{,}55}$

4. $P_{F}(P)=\dfrac{0{,}28}{0{,}55}=\boxed{\dfrac{28}{55}\approx 0{,}509}$

5. $P(\overline{F})=0{,}45$ et $P(P\cap\overline{F})=0{,}4\times 0{,}3=0{,}12$ , donc $P_{\overline{F}}(P)=\frac{0{,}12}{0{,}45}=\boxed{\frac{4}{15}\approx 0{,}267}$

6. $P(P)\times P(F)=0{,}4\times 0{,}55=0{,}22$ , alors que $P(P\cap F)=0{,}28$ : $\boxed{\text{les événements ne sont pas indépendants.}}$

Partie B

7. Les deux abonnés étant interrogés de façon indépendante : $P(F_{1}\cap F_{2})=0{,}55\times 0{,}55=\boxed{0{,}3025}$

8. $P(\overline{F_{1}}\cap\overline{F_{2}})=0{,}45\times 0{,}45=\boxed{0{,}2025}$

9. L'événement « au moins l'un des deux » est le contraire de « aucun des deux » : $1-0{,}2025=\boxed{0{,}7975}$

Partie C

10. $\boxed{X \text{ prend les valeurs } 0,\ 1 \text{ et } 2.}$

11. Les cas $X=0$ et $X=2$ ont déjà été calculés. Pour $X=1$ , deux situations sont possibles — le premier seulement, ou le second seulement : $P(X=1)=2\times 0{,}55\times 0{,}45=0{,}495$

\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x_{i} & 0 & 1 & 2 \\ \hline P(X=x_{i}) & 0{,}2025 & 0{,}495 & 0{,}3025 \\ \hline \end{array}

La somme vaut $0{,}2025+0{,}495+0{,}3025=1$ .

12. $E[X]=0\times 0{,}2025+1\times 0{,}495+2\times 0{,}3025=0{,}495+0{,}605=\boxed{1{,}1}$ $\boxed{\begin{array}{l} \text{sur un grand nombre de sondages de deux abonnés,} \\[1mm] \text{on en trouve en moyenne } 1{,}1 \text{ qui regardent un film.} \end{array}}$ On remarque que $1{,}1=2\times 0{,}55$ : l'espérance est le double de la probabilité individuelle, ce qui est très intuitif.

13. $E\left[X^{2}\right]=0+1\times 0{,}495+4\times 0{,}3025=0{,}495+1{,}21=1{,}705$ , donc $V(X)=1{,}705-1{,}1^{2}=1{,}705-1{,}21=\boxed{0{,}495} \qquad\text{et}\qquad \sigma(X)=\sqrt{0{,}495}\approx\boxed{0{,}70}$

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Dans l'édifice

Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités

Thèmes

probabilités, arbre pondéré, indépendance, variable aléatoire, loi de probabilité, variance, écart-type

Notions

espace probabilisé, indépendance, variable aléatoire, loi (d'une variable aléatoire)