Exercice 10

1. Le cosinus est l'abscisse du point image, le sinus son ordonnée : le signe se lit donc directement sur le quadrant. Celui de la tangente s'en déduit par la règle des signes d'un quotient.

On remarque que b) et d) décrivent le même arc de cercle : en retranchant un tour, $\left]\dfrac{3\pi}{2}\,;2\pi\right[$ devient $\left]-\dfrac{\pi}{2}\,;0\right[$.

2. L'abscisse du point image est négative et son ordonnée positive : le point se situe donc dans le $\boxed{2^{\text{e}} \text{ quadrant}}$, c'est-à-dire que la mesure principale de $x$ appartient à $\left]\dfrac{\pi}{2}\,;\pi\right[$.

3. Le point image appartenant au cercle de rayon $1$, ses coordonnées vérifient toujours $-1\leqslant \cos(x)\leqslant 1$ et $-1\leqslant \sin(x)\leqslant 1$. Or $\dfrac{5}{4}=1{,}25>1$, donc : $$\boxed{\text{il n'existe aucun réel } x \text{ tel que } \cos(x)=\tfrac{5}{4}}$$ En revanche $-1\leqslant -\dfrac{3}{4}\leqslant 1$, donc : $$\boxed{\text{il existe une infinité de réels } x \text{ tels que } \sin(x)=-\tfrac{3}{4}}$$ Ils correspondent aux deux points du cercle d'ordonnée $-\dfrac{3}{4}$, chacun à un nombre entier de tours près.