ExercicePremière, chapitre 6 — Trigonométrie · Cosinus, sinus et tangente d'un réel

Exercice 9

Calcul

1. Pour chacun des réels suivants, déterminer la valeur exacte de son cosinus et de son sinus, puis de sa tangente lorsqu'elle existe. On pourra s'aider en plaçant les points images correspondants sur le cercle trigonométrique.

a) $\dfrac{\pi}{6}$

b) $\dfrac{5\pi}{6}$

c) $\dfrac{7\pi}{6}$

d) $\dfrac{11\pi}{6}$

e) $\dfrac{13\pi}{6}$

f) $\dfrac{\pi}{4}$

g) $\dfrac{9\pi}{4}$

h) $\dfrac{5\pi}{4}$

i) $\dfrac{81\pi}{4}$

j) $-\dfrac{108\pi}{4}$

k) $\dfrac{4\pi}{3}$

l) $\dfrac{\pi}{3}$

m) $\dfrac{71\pi}{3}$

n) $\dfrac{97\pi}{3}$

o) $-\dfrac{54\pi}{3}$

2. Regrouper ces quinze réels selon leur point image. Combien de points distincts obtient-on finalement sur le cercle ?

Corrigé

1. On commence par ramener chaque réel à sa mesure principale, puis on lit ses coordonnées sur le cercle. La tangente s'obtient enfin par $\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$ .

Réel	Mesure principale	$\cos$	$\sin$	$\tan$
a) $\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
b) $\dfrac{5\pi}{6}$	$\dfrac{5\pi}{6}$	$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
c) $\dfrac{7\pi}{6}$	$-\dfrac{5\pi}{6}$	$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$-\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
d) $\dfrac{11\pi}{6}$	$-\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$-\dfrac{1}{2}$	$-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
e) $\dfrac{13\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
f) $\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
g) $\dfrac{9\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
h) $\dfrac{5\pi}{4}$	$-\dfrac{3\pi}{4}$	$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$1$

Réel	Mesure principale	$\cos$	$\sin$	$\tan$
i) $\dfrac{81\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
j) $-\dfrac{108\pi}{4}=-27\pi$	$\pi$	$-1$	$0$	$0$
k) $\dfrac{4\pi}{3}$	$-\dfrac{2\pi}{3}$	$-\dfrac{1}{2}$	$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\sqrt{3}$
l) $\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\sqrt{3}$
m) $\dfrac{71\pi}{3}$	$-\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{1}{2}$	$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$-\sqrt{3}$
n) $\dfrac{97\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\sqrt{3}$
o) $-\dfrac{54\pi}{3}=-18\pi$	$0$	$1$	$0$	$0$

Deux remarques. En j), le calcul $-\dfrac{108\pi}{4}=-27\pi$ conduit à $-27\pi+28\pi=\pi$ : c'est bien $\pi$ , et non $-\pi$ , car seule la borne $\pi$ appartient à $]-\pi\,;\pi]$ . Par ailleurs $\tan\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1/2}{\sqrt{3}/2}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ , que l'on rend rationnel au dénominateur : $\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ .

2. En regroupant les réels ayant la même mesure principale : $\boxed{\begin{array}{lll} \{a\,;e\} \to \dfrac{\pi}{6} & \{b\} \to \dfrac{5\pi}{6} & \{c\} \to -\dfrac{5\pi}{6} \\[2mm] \{d\} \to -\dfrac{\pi}{6} & \{f\,;g\,;i\} \to \dfrac{\pi}{4} & \{h\} \to -\dfrac{3\pi}{4} \\[2mm] \{j\} \to \pi & \{k\} \to -\dfrac{2\pi}{3} & \{l\,;n\} \to \dfrac{\pi}{3} \\[2mm] \{m\} \to -\dfrac{\pi}{3} & \{o\} \to 0 & \end{array}}$ Les quinze réels proposés ne fournissent donc que $\boxed{11 \text{ points distincts}}$ sur le cercle.

Énoncé PDF, p. 3 Corrigé PDF, p. 6 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Zéros, périodes et paramétrage du cercle

Thèmes

cercle trigonométrique, cosinus, sinus, tangente

Notions

π, cosinus et sinus