Exercice 8

1. On ramène chaque mesure dans $]-\pi\,;\pi]$ : $$\frac{17\pi}{4}-4\pi=\frac{17\pi-16\pi}{4}=\frac{\pi}{4} \qquad ; \qquad -\frac{31\pi}{4}+8\pi=\frac{-31\pi+32\pi}{4}=\frac{\pi}{4}$$

$$\frac{23\pi}{4}-4\pi=\frac{23\pi-16\pi}{4}=\frac{7\pi}{4} \quad \text{puis} \quad \frac{7\pi}{4}-2\pi=-\frac{\pi}{4}$$ On en déduit donc que : $$\boxed{\begin{array}{l} \dfrac{17\pi}{4} \text{ et } -\dfrac{31\pi}{4} \text{ sont des mesures de cet angle} \\[2mm] \dfrac{23\pi}{4} \text{ n'en est pas une} \end{array}}$$

2. On cherche les entiers $k$ tels que $-\pi<\dfrac{k\pi}{3}\leqslant \pi$. En divisant par $\pi$ puis en multipliant par $3$ : $$-\pi<\frac{k\pi}{3}\leqslant \pi \iff -1<\frac{k}{3}\leqslant 1 \iff -3<k\leqslant 3$$ Les entiers convenables sont donc $k\in\{-2\,;-1\,;0\,;1\,;2\,;3\}$, ce qui donne : $$\boxed{-\frac{2\pi}{3} \; ; \; -\frac{\pi}{3} \; ; \; 0 \; ; \; \frac{\pi}{3} \; ; \; \frac{2\pi}{3} \; ; \; \pi}$$ On remarque que $k=-3$ est exclu (il donnerait $-\pi$, borne ouverte) alors que $k=3$ est accepté : c'est toute l'asymétrie de l'intervalle $]-\pi\,;\pi]$.

3. On calcule le nombre de tours : $$\frac{100}{2\pi}\approx 15{,}915$$ L'angle représente donc $\boxed{15 \text{ tours complets}}$. En retranchant ces $15$ tours : $$100-15\times 2\pi = 100-30\pi \approx 5{,}752$$ Ce résultat dépasse $\pi\approx 3{,}14$ : on retranche donc un tour de plus. $$100-32\pi \approx -0{,}531$$ Cette fois $-\pi<-0{,}531\leqslant \pi$, et la mesure principale cherchée est : $$\boxed{100-32\pi \approx -0{,}531 \text{ rad}}$$