Exercice 7

Pour chaque angle, on calcule d'abord le nombre de tours $\dfrac{\alpha}{2\pi}$, puis on retranche le nombre de tours entiers nécessaire pour atterrir dans $]-\pi\,;\pi]$.

a) $\dfrac{7\pi}{2}-2\times 2\pi=\dfrac{7\pi}{2}-\dfrac{8\pi}{2}=\boxed{-\dfrac{\pi}{2}}$

b) $-\dfrac{4\pi}{3}+2\pi=\dfrac{-4\pi+6\pi}{3}=\boxed{\dfrac{2\pi}{3}}$

c) $\dfrac{35\pi}{6}-3\times 2\pi=\dfrac{35\pi-36\pi}{6}=\boxed{-\dfrac{\pi}{6}}$

d) $-\dfrac{21\pi}{4}+3\times 2\pi=\dfrac{-21\pi+24\pi}{4}=\boxed{\dfrac{3\pi}{4}}$

e) $\dfrac{202\pi}{3}-34\pi=\dfrac{202\pi-204\pi}{3}=\boxed{-\dfrac{2\pi}{3}}$

f) $\dfrac{53\pi}{6}-4\times 2\pi=\dfrac{53\pi-48\pi}{6}=\boxed{\dfrac{5\pi}{6}}$

g) $-\dfrac{17\pi}{2}+4\times 2\pi=\dfrac{-17\pi+16\pi}{2}=\boxed{-\dfrac{\pi}{2}}$

h) $\dfrac{100\pi}{3}-17\times 2\pi=\dfrac{100\pi-102\pi}{3}=\boxed{-\dfrac{2\pi}{3}}$

i) $-\dfrac{123\pi}{4}+15\times 2\pi=\dfrac{-123\pi+120\pi}{4}=\boxed{-\dfrac{3\pi}{4}}$

j) $\dfrac{2024\pi}{3}-337\times 2\pi=\dfrac{2024\pi-2022\pi}{3}=\boxed{\dfrac{2\pi}{3}}$

Le piège consiste à s'arrêter trop tôt. En a) par exemple, retrancher un seul tour donne $\dfrac{7\pi}{2}-2\pi=\dfrac{3\pi}{2}$, qui est supérieur à $\pi$ : il faut en retrancher un second. On contrôle toujours le résultat final en vérifiant qu'il appartient bien à $]-\pi\,;\pi]$.