Exercice 6

1. D'après la proposition 1 du cours, deux réels ont le même point image si et seulement s'ils diffèrent d'un multiple entier de $2\pi$. On calcule donc la mesure principale de chacun : $$\frac{7\pi}{3}-2\pi=\frac{\pi}{3} \quad ; \quad -\frac{5\pi}{3}+2\pi=\frac{\pi}{3} \quad ; \quad \frac{13\pi}{3}-4\pi=\frac{\pi}{3}$$

$$\frac{8\pi}{3}-2\pi=\frac{2\pi}{3} \quad ; \quad -\frac{4\pi}{3}+2\pi=\frac{2\pi}{3}$$ On en déduit donc trois groupes : $$\boxed{\left\{\frac{\pi}{3}\,;\frac{7\pi}{3}\,;-\frac{5\pi}{3}\,;\frac{13\pi}{3}\right\} \quad ; \quad \left\{\frac{2\pi}{3}\,;\frac{8\pi}{3}\,;-\frac{4\pi}{3}\right\} \quad ; \quad \left\{-\frac{2\pi}{3}\right\}}$$ Attention : $-\dfrac{2\pi}{3}$ et $\dfrac{2\pi}{3}$ sont bien deux points distincts, symétriques par rapport à l'axe des abscisses.

2. Il suffit d'ajouter ou de retrancher des multiples de $2\pi$ : $$\frac{3\pi}{4}+2\pi=\frac{11\pi}{4} \quad ; \quad \frac{3\pi}{4}+4\pi=\frac{19\pi}{4} \quad ; \quad \frac{3\pi}{4}-2\pi=-\frac{5\pi}{4}$$ d'où par exemple : $$\boxed{\frac{11\pi}{4} \quad ; \quad \frac{19\pi}{4} \quad ; \quad -\frac{5\pi}{4}}$$

3. Pour le premier, on cherche $k$ tel que $2k\pi=\dfrac{25\pi}{6}-\dfrac{\pi}{6}$ : $$\frac{25\pi}{6}-\frac{\pi}{6}=\frac{24\pi}{6}=4\pi=2\times 2\pi$$ donc $\boxed{k=2 \; \text{convient}}$ : les deux réels ont bien le même point image.

Pour le second : $$\frac{13\pi}{2}-\frac{\pi}{6}=\frac{39\pi}{6}-\frac{\pi}{6}=\frac{38\pi}{6}=\frac{19\pi}{3} \qquad \text{et} \qquad \frac{19\pi}{3}\div 2\pi=\frac{19}{6}$$ Or $\dfrac{19}{6}$ n'est pas un entier. On en déduit donc qu' $\boxed{\text{il n'existe aucun entier } k}$ convenant : ces deux réels ont des points images différents.