Exercice 5

1. On parcourt le cercle dans le sens direct, en partant de la borne inférieure de l'intervalle et en s'arrêtant à la borne supérieure.

Sur chaque figure, le secteur grisé au centre matérialise le balayage effectué depuis la borne inférieure jusqu'à la borne supérieure, dans le sens direct. Les quatre intervalles étant fermés, chaque crochet est tourné vers l'arc colorié : il l'englobe, signe que la borne est incluse. Pour $K$, ce balayage dépasse le tour complet : tout le cercle est colorié, et l'arc tracé en violet, de $\dfrac{5\pi}{6}$ à $\dfrac{5\pi}{4}$, est même parcouru deux fois.

2. La longueur de l'arc colorié est l'amplitude de l'intervalle, c'est-à-dire la différence de ses bornes : $$\begin{aligned} I &: \; \frac{5\pi}{4}-\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{6\pi}{4}=\boxed{\frac{3\pi}{2}} \\[1mm] J &: \; \frac{13\pi}{6}-\frac{4\pi}{3}=\frac{13\pi}{6}-\frac{8\pi}{6}=\boxed{\frac{5\pi}{6}} \\[1mm] L &: \; -\frac{\pi}{3}-(-\pi)=\frac{2\pi}{3} \quad \text{soit} \quad \boxed{\frac{2\pi}{3}} \end{aligned}$$ Le cas de $K$ est traité à la question suivante.

3. C'est l'intervalle $\boxed{K=\left[-\dfrac{7\pi}{6}\,;\dfrac{5\pi}{4}\right]}$. Son amplitude vaut en effet : $$\frac{5\pi}{4}+\frac{7\pi}{6}=\frac{15\pi}{12}+\frac{14\pi}{12}=\frac{29\pi}{12} \approx 7{,}59 \; > \; 2\pi\approx 6{,}28$$ L'enroulement fait donc plus d'un tour complet : l'arc colorié est le cercle tout entier, de longueur $2\pi$, et certains points du cercle sont même atteints deux fois. C'est le piège classique : on ne peut pas colorier « de $-\dfrac{7\pi}{6}$ à $\dfrac{5\pi}{4}$ » sans vérifier au préalable que l'amplitude ne dépasse pas $2\pi$.