Exercice 4

1. Chaque réel se place en partant de $I$ et en parcourant sur le cercle une longueur égale à sa valeur absolue, dans le sens direct s'il est positif, indirect sinon.

Les points ont été coloriés par couples symétriques par rapport à l'axe des abscisses, ce qui rend la question 2 immédiate.

Il est commode de noter à côté de chaque point la mesure principale du réel correspondant : c'est elle qui rend les deux questions suivantes immédiates.

2. On lit sur la figure quatre couples de points symétriques par rapport à l'axe des abscisses : $$\boxed{(A\,;H) \quad ; \quad (C\,;K) \quad ; \quad (F\,;L) \quad ; \quad (B\,;G)}$$ Une telle symétrie change l'ordonnée en son opposée et conserve l'abscisse : les deux réels correspondants sont donc opposés, à un nombre entier de tours près. On vérifie par exemple que $\dfrac{7\pi}{4}$ a pour mesure principale $-\dfrac{\pi}{4}$, opposée de celle de $A$, et que $\dfrac{11\pi}{6}$ a pour mesure principale $-\dfrac{\pi}{6}$, opposée de celle de $C$.

3. Deux points sont diamétralement opposés lorsque les réels correspondants diffèrent de $\pi$. En comparant les mesures principales, on trouve là encore quatre couples : $$\boxed{(A\,;E) \quad ; \quad (C\,;L) \quad ; \quad (F\,;K) \quad ; \quad (B\,;G)}$$ Le couple $(B\,;G)$ apparaît dans les deux questions : c'est le seul cas où cela est possible, puisque ces deux points sont situés sur l'axe des ordonnées.