ExercicePremière, chapitre 6 — Trigonométrie · Radians et cercle trigonométrique

Exercice 3

Calcul

1. Recopier et compléter le tableau de conversion suivant :

Degrés	$0$	$30$		$60$		$120$	$135$		$240$
Radians			$\dfrac{\pi}{4}$		$\dfrac{\pi}{2}$			$\pi$		$\dfrac{7\pi}{4}$

2. Sur le cercle trigonométrique, quelle est la longueur de l'arc intercepté par un angle au centre de $\dfrac{\pi}{5}$  ? par un angle au centre de $108^{\circ}$  ?

3. Sur le cercle trigonométrique, un angle au centre intercepte un arc de longueur $2{,}4$ . Quelle est sa mesure en radians ? en degrés, arrondie au dixième ?

Corrigé

1. En appliquant la même proportionnalité case par case, on obtient :

Degrés	$0$	$30$	$45$	$60$	$90$	$120$	$135$	$180$	$240$	$315$
Radians	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\dfrac{2\pi}{3}$	$\dfrac{3\pi}{4}$	$\pi$	$\dfrac{4\pi}{3}$	$\dfrac{7\pi}{4}$

2. C'est exactement la définition du radian : sur le cercle trigonométrique, la longueur de l'arc intercepté est égale à la mesure de l'angle en radians. L'arc intercepté par un angle de $\dfrac{\pi}{5}$ a donc pour longueur : $\boxed{\dfrac{\pi}{5}\approx 0{,}63}$ Pour $108^{\circ}$ , il faut d'abord convertir : $\alpha_{\text{rad}}=\dfrac{108\pi}{180}=\dfrac{3\pi}{5}$ , d'où une longueur de : $\boxed{\dfrac{3\pi}{5}\approx 1{,}88}$

3. Toujours par définition du radian, la mesure de l'angle est égale à la longueur de l'arc : $\boxed{\alpha_{\text{rad}}=2{,}4}$ On convertit ensuite en degrés : $\alpha_{\text{deg}}=\frac{180\times 2{,}4}{\pi}=\frac{432}{\pi}\approx \boxed{137{,}5^{\circ}}$

Énoncé PDF, p. 1 Corrigé PDF, p. 2 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Zéros, périodes et paramétrage du cercle

Thèmes

radians, cercle trigonométrique

Notions

π, cosinus et sinus