Exercice 11

On ramène systématiquement chaque angle à sa mesure principale avant de lire sa valeur remarquable.

a) $34\pi=17\times 2\pi$ et $17\pi=\pi+8\times 2\pi$, donc $\cos(34\pi)=\cos(0)=1$ et $\sin(17\pi)=\sin(\pi)=0$ : $$12\cos(34\pi)-35\sin(17\pi)=12\times 1-35\times 0=\boxed{12}$$

b) $15\pi=\pi+7\times 2\pi$, donc $\cos(15\pi)=\cos(\pi)=-1$, et $\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=-1$ : $$3\cos(15\pi)+18\sin\left(\frac{-\pi}{2}\right)=3\times(-1)+18\times(-1)=\boxed{-21}$$

c) $2024\pi=1012\times 2\pi$, donc $\cos(2024\pi)=\cos(0)=1$ : $$\cos^{2}(2024\pi)=1^{2}=\boxed{1}$$

d) $\dfrac{13\pi}{3}-4\pi=\dfrac{\pi}{3}$, donc $\sin\left(\dfrac{13\pi}{3}\right)= \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ : $$\frac{\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)}{3\sin\left(\frac{13\pi}{3}\right)} =\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{3\times\frac{\sqrt{3}}{2}} =-\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{2}{3\sqrt{3}}=\boxed{-\frac{1}{3}}$$

e) $\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}$ : $$2\cos\left(\frac{-\pi}{3}\right)-\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) =2\times\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=\boxed{\frac{1}{2}}$$

f) $\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ : $$3\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)+5\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) =\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{5\sqrt{3}}{2}=\frac{-2\sqrt{3}}{2}=\boxed{-\sqrt{3}}$$

g) $\cos\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)=\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{7\pi}{3}-2\pi=\dfrac{\pi}{3}$ : $$-\frac{1}{2}\cos\left(\frac{-2\pi}{3}\right)+3\cos\left(\frac{7\pi}{3}\right) =-\frac{1}{2}\times\left(-\frac{1}{2}\right)+3\times\frac{1}{2} =\frac{1}{4}+\frac{3}{2}=\boxed{\frac{7}{4}}$$

h) $\cos\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ : $$\left(3\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right)-2\sin\left(\frac{-\pi}{4}\right)\right)^{2} =\left(-\frac{3\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}\right)^{2} =\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\frac{2}{4}=\boxed{\frac{1}{2}}$$

i) $-\dfrac{9\pi}{4}+2\pi=-\dfrac{\pi}{4}$ donc $\cos\left(-\dfrac{9\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, et $\cos\left(\dfrac{5\pi}{3}\right)=\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}$ : $$\left(2\cos\left(\frac{-9\pi}{4}\right)-3\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right)\right)^{2} =\left(\sqrt{2}-\frac{3}{2}\right)^{2} =2-2\times\sqrt{2}\times\frac{3}{2}+\frac{9}{4}=\boxed{\frac{17}{4}-3\sqrt{2}}$$ Le piège est ici de « distribuer le carré » : $\left(\sqrt{2}-\dfrac{3}{2}\right)^{2}$ ne vaut pas $2-\dfrac{9}{4}$. Le double produit est indispensable.

j) $-\dfrac{4\pi}{3}+2\pi=\dfrac{2\pi}{3}$, $\dfrac{17\pi}{4}-4\pi=\dfrac{\pi}{4}$ et $\dfrac{17\pi}{6}-2\pi=\dfrac{5\pi}{6}$, d'où $\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}$. Le numérateur vaut : $$\begin{aligned} \left(-2\times\frac{\sqrt{3}}{2}+5\times\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2} &= \left(-\sqrt{3}+\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^{2} \\ &= 3-2\times\sqrt{3}\times\frac{5\sqrt{2}}{2}+\frac{25\times 2}{4} = 3-5\sqrt{6}+\frac{25}{2}=\frac{31}{2}-5\sqrt{6} \end{aligned}$$ et le dénominateur $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{4}$. Diviser par $\dfrac{1}{4}$ revient à multiplier par $4$ : $$\frac{\frac{31}{2}-5\sqrt{6}}{\frac{1}{4}}=4\left(\frac{31}{2}-5\sqrt{6}\right) =\boxed{62-20\sqrt{6}}$$