Exercice 12

1. Dans chaque cas, on part de la relation fondamentale $\cos^{2}(x)+\sin^{2}(x)=1$, qui donne le carré de la valeur cherchée ; l'intervalle proposé permet ensuite de choisir le bon signe.

(a) $\cos^{2}(x)=1-\sin^{2}(x)=1-\dfrac{1}{16}=\dfrac{15}{16}$, donc $\cos(x)=\pm\dfrac{\sqrt{15}}{4}$. Or $x\in\left[-\dfrac{\pi}{2}\,;0\right]$ : le point image est dans le $4^{\text{e}}$ quadrant, où l'abscisse est positive. $$\boxed{\cos(x)=\frac{\sqrt{15}}{4}}$$

(b) $\sin^{2}(x)=1-\cos^{2}(x)=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}$, donc $\sin(x)=\pm\dfrac{4}{5}$. Or $x\in\left[\dfrac{3\pi}{2}\,;2\pi\right]$, soit encore le $4^{\text{e}}$ quadrant, où l'ordonnée est négative. $$\boxed{\sin(x)=-\frac{4}{5}}$$

(c) $\sin^{2}(x)=1-\dfrac{1}{9}=\dfrac{8}{9}$, donc $\sin(x)=\pm\dfrac{\sqrt{8}}{3}=\pm\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$. Or $x\in\left[\dfrac{\pi}{2}\,;\pi\right]$ : l'ordonnée est positive. $$\boxed{\sin(x)=\frac{2\sqrt{2}}{3}}$$

(d) $\cos^{2}(x)=1-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}$, donc $\cos(x)=\pm\dfrac{1}{2}$. Or $x\in\left[\dfrac{\pi}{2}\,;\pi\right]$ : l'abscisse est négative. $$\boxed{\cos(x)=-\frac{1}{2}}$$

(e) $\sin^{2}(x)=1-\dfrac{5}{9}=\dfrac{4}{9}$, donc $\sin(x)=\pm\dfrac{2}{3}$. Or $x\in\left[\pi\,;\dfrac{3\pi}{2}\right]$ : l'ordonnée est négative. $$\boxed{\sin(x)=-\frac{2}{3}}$$

2. Oui, l'intervalle est indispensable. La relation fondamentale ne fournit que le carré de la valeur cherchée, donc deux valeurs opposées possibles. Sans l'intervalle, on ne pourrait pas trancher entre les deux : les deux points du cercle ayant le cosinus donné sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses, et leurs ordonnées sont opposées.

3. Si un tel réel existait, ses coordonnées vérifieraient la relation fondamentale. Or : $$\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4} =\frac{1}{2}\neq 1$$ soit : $$\boxed{\text{un tel réel n'existe pas}}$$ Le point de coordonnées $\left(\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{1}{2}\right)$ n'est en effet pas situé sur le cercle trigonométrique.

En revanche : $$\left(-\frac{3}{5}\right)^{2}+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{9}{25}+\frac{16}{25} =\frac{25}{25}=1$$ donc $\boxed{\text{un tel réel existe}}$, et son point image se situe dans le $2^{\text{e}}$ quadrant.