Exercice 13

1. Soit $x$ un réel tel que $\cos(x)\neq 0$. Par définition de la tangente : $$1+\tan^{2}(x)=1+\frac{\sin^{2}(x)}{\cos^{2}(x)} =\frac{\cos^{2}(x)}{\cos^{2}(x)}+\frac{\sin^{2}(x)}{\cos^{2}(x)} =\frac{\cos^{2}(x)+\sin^{2}(x)}{\cos^{2}(x)} =\boxed{\frac{1}{\cos^{2}(x)}}$$ la dernière égalité venant de la relation fondamentale.

2. On sait déjà (exercice 12) que $\sin(x)=\dfrac{4}{5}$ pour $x$ dans le premier quadrant. On en déduit : $$\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} =\frac{4}{5}\times\frac{5}{3}=\boxed{\frac{4}{3}}$$

3. La formule de la question 1 donne : $$\frac{1}{\cos^{2}(x)}=1+2^{2}=5 \qquad \text{d'où} \qquad \cos^{2}(x)=\frac{1}{5}$$ Or $x\in\left]0\,;\dfrac{\pi}{2}\right[$, donc $\cos(x)>0$ : $$\cos(x)=\frac{1}{\sqrt{5}}=\boxed{\frac{\sqrt{5}}{5}}$$ On obtient alors le sinus en écrivant $\sin(x)=\tan(x)\times\cos(x)$ : $$\sin(x)=2\times\frac{\sqrt{5}}{5}=\boxed{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$$

4. On procède de la même manière : $$\frac{1}{\cos^{2}(x)}=1+(-3)^{2}=10 \qquad \text{d'où} \qquad \cos^{2}(x)=\frac{1}{10}$$ Cette fois $x\in\left]\dfrac{\pi}{2}\,;\pi\right[$, donc $\cos(x)<0$ : $$\cos(x)=-\frac{1}{\sqrt{10}}=\boxed{-\frac{\sqrt{10}}{10}} \qquad \text{puis} \qquad \sin(x)=(-3)\times\left(-\frac{\sqrt{10}}{10}\right)=\boxed{\frac{3\sqrt{10}}{10}}$$ On contrôle la cohérence : dans le $2^{\text{e}}$ quadrant, le cosinus doit bien être négatif et le sinus positif.