Exercice 14

Soit $x$ un réel quelconque. On développe à chaque fois, puis on utilise la relation fondamentale $\cos^{2}(x)+\sin^{2}(x)=1$.

1. $$\begin{aligned} \left(\cos(x)+\sin(x)\right)^{2}+\left(\cos(x)-\sin(x)\right)^{2} &= \cos^{2}(x)+2\cos(x)\sin(x)+\sin^{2}(x) \\ &\quad + \cos^{2}(x)-2\cos(x)\sin(x)+\sin^{2}(x) \\ &= 2\cos^{2}(x)+2\sin^{2}(x) \\ &= 2\left(\cos^{2}(x)+\sin^{2}(x)\right) = \boxed{2} \end{aligned}$$ Les doubles produits, de signes contraires, se sont éliminés.

2. Cette fois ce sont les carrés qui s'éliminent : $$\begin{aligned} \left(\cos(x)+\sin(x)\right)^{2}-\left(\cos(x)-\sin(x)\right)^{2} &= \left(\cos^{2}(x)+2\cos(x)\sin(x)+\sin^{2}(x)\right) \\ &\quad - \left(\cos^{2}(x)-2\cos(x)\sin(x)+\sin^{2}(x)\right) \\ &= 2\cos(x)\sin(x)+2\cos(x)\sin(x) = \boxed{4\cos(x)\sin(x)} \end{aligned}$$ Attention au signe $-$ devant la seconde parenthèse : il change le signe de tous ses termes.

3. On reconnaît une différence de deux carrés : $$\left(1-\cos(x)\right)\left(1+\cos(x)\right)=1-\cos^{2}(x)=\boxed{\sin^{2}(x)}$$

4. On fait apparaître le carré de la somme $\cos^{2}(x)+\sin^{2}(x)$ : $$\begin{aligned} \cos^{4}(x)+\sin^{4}(x) &= \left(\cos^{2}(x)+\sin^{2}(x)\right)^{2}-2\cos^{2}(x)\sin^{2}(x) \\ &= 1^{2}-2\cos^{2}(x)\sin^{2}(x) = \boxed{1-2\cos^{2}(x)\sin^{2}(x)} \end{aligned}$$

Application. On suppose désormais $\cos(x)+\sin(x)=\dfrac{1}{2}$.

5. D'après la question 1, la somme des deux carrés vaut $2$, donc : $$\left(\cos(x)-\sin(x)\right)^{2}=2-\left(\cos(x)+\sin(x)\right)^{2} =2-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=2-\frac{1}{4}=\boxed{\frac{7}{4}}$$

6. D'après la question 2 : $$4\cos(x)\sin(x)=\left(\cos(x)+\sin(x)\right)^{2}-\left(\cos(x)-\sin(x)\right)^{2} =\frac{1}{4}-\frac{7}{4}=-\frac{6}{4}=-\frac{3}{2}$$ On en déduit donc que : $$\cos(x)\sin(x)=\frac{1}{4}\times\left(-\frac{3}{2}\right)=\boxed{-\frac{3}{8}}$$ Ce résultat est cohérent : le produit étant négatif, le cosinus et le sinus de $x$ sont de signes contraires.