Exercice 15

a) On reconnaît une différence de deux carrés : $$A(x)=\cos^{4}(x)-\sin^{4}(x) =\left(\cos^{2}(x)-\sin^{2}(x)\right)\left(\cos^{2}(x)+\sin^{2}(x)\right) =\boxed{\cos^{2}(x)-\sin^{2}(x)}$$ et l'on peut encore écrire, en remplaçant $\sin^{2}(x)$ par $1-\cos^{2}(x)$ : $A(x)=2\cos^{2}(x)-1$.

b) On reconnaît cette fois le développement d'un carré : $$B(x)=\cos^{4}(x)+2\cos^{2}(x)\sin^{2}(x)+\sin^{4}(x) =\left(\cos^{2}(x)+\sin^{2}(x)\right)^{2}=1^{2}=\boxed{1}$$

c) $$C(x)=3\left(\cos^{2}(x)+\sin^{2}(x)\right)-2=3\times 1-2=\boxed{1}$$

d) On développe les deux carrés : $$\begin{aligned} D(x) &= 4\cos^{2}(x)+4\cos(x)\sin(x)+\sin^{2}(x) + \cos^{2}(x)-4\cos(x)\sin(x)+4\sin^{2}(x) \\ &= 5\cos^{2}(x)+5\sin^{2}(x)=5\left(\cos^{2}(x)+\sin^{2}(x)\right)=\boxed{5} \end{aligned}$$

e) On factorise les deux premiers termes par $\cos^{2}(x)$ : $$E(x)=\cos^{2}(x)\left(\cos^{2}(x)+\sin^{2}(x)\right)+\sin^{2}(x) =\cos^{2}(x)+\sin^{2}(x)=\boxed{1}$$

f) Le numérateur vaut $1-\cos^{2}(x)=\left(1-\cos(x)\right)\left(1+\cos(x)\right)$, ce qui permet de simplifier par $1+\cos(x)$, non nul par hypothèse : $$F(x)=\frac{\left(1-\cos(x)\right)\left(1+\cos(x)\right)}{1+\cos(x)}+\cos(x) =1-\cos(x)+\cos(x)=\boxed{1}$$