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ExercicePremière, chapitre 6 — Trigonométrie · Angles associés

Exercice 16

Calcul

Écrire chacun des réels suivants à l'aide d'une ou deux des transformations −x-x, π−x\pi-x, π+x\pi+x ou π2−x\dfrac{\pi}{2}-x, où xx est un réel du tableau des valeurs remarquables, puis en déduire son cosinus et son sinus.

a) 2π3\dfrac{2\pi}{3}

b) 3π4\dfrac{3\pi}{4}

c) −5π6-\dfrac{5\pi}{6}

d) 7π6\dfrac{7\pi}{6}

e) 5π4\dfrac{5\pi}{4}

f) −π3-\dfrac{\pi}{3}

g) 11π6\dfrac{11\pi}{6}

h) 4π3\dfrac{4\pi}{3}

Corrigé

a) 2π3=π−π3\dfrac{2\pi}{3}=\pi-\dfrac{\pi}{3}, on utilise donc la colonne « π−x\pi-x » : cos⁡(2π3)=cos⁡(π−π3)=−cos⁡(π3)=−12\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\cos\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right) =-\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\boxed{-\frac{1}{2}}

sin⁡(2π3)=sin⁡(π−π3)=sin⁡(π3)=32\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\sin\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right) =\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\boxed{\frac{\sqrt{3}}{2}}

b) 3π4=π−π4\dfrac{3\pi}{4}=\pi-\dfrac{\pi}{4}, même colonne : cos⁡(3π4)=cos⁡(π−π4)=−cos⁡(π4)=−22\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\cos\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right) =-\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\boxed{-\frac{\sqrt{2}}{2}}

sin⁡(3π4)=sin⁡(π−π4)=sin⁡(π4)=22\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\sin\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right) =\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)=\boxed{\frac{\sqrt{2}}{2}}

c) −5π6=−(π−π6)-\dfrac{5\pi}{6}=-\left(\pi-\dfrac{\pi}{6}\right) : il faut ici deux transformations successives, d'abord « −x-x », puis « π−x\pi-x ». cos⁡(−5π6)=cos⁡(5π6)=cos⁡(π−π6)=−cos⁡(π6)=−32sin⁡(−5π6)=−sin⁡(5π6)=−sin⁡(π−π6)=−sin⁡(π6)=−12\begin{aligned} \cos\left(-\frac{5\pi}{6}\right) &= \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \cos\left(\pi-\frac{\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \boxed{-\frac{\sqrt{3}}{2}} \\[1mm] \sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right) &= -\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\sin\left(\pi-\frac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \boxed{-\frac{1}{2}} \end{aligned}

d) 7π6=π+π6\dfrac{7\pi}{6}=\pi+\dfrac{\pi}{6}, on utilise la colonne « π+x\pi+x » : cos⁡(7π6)=cos⁡(π+π6)=−cos⁡(π6)=−32\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right)=\cos\left(\pi+\frac{\pi}{6}\right) =-\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\boxed{-\frac{\sqrt{3}}{2}}

sin⁡(7π6)=sin⁡(π+π6)=−sin⁡(π6)=−12\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)=\sin\left(\pi+\frac{\pi}{6}\right) =-\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\boxed{-\frac{1}{2}}

e) 5π4=π+π4\dfrac{5\pi}{4}=\pi+\dfrac{\pi}{4}, même colonne : cos⁡(5π4)=cos⁡(π+π4)=−cos⁡(π4)=−22\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right)=\cos\left(\pi+\frac{\pi}{4}\right) =-\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\boxed{-\frac{\sqrt{2}}{2}}

sin⁡(5π4)=sin⁡(π+π4)=−sin⁡(π4)=−22\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)=\sin\left(\pi+\frac{\pi}{4}\right) =-\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)=\boxed{-\frac{\sqrt{2}}{2}}

f) −π3-\dfrac{\pi}{3} est déjà de la forme « −x-x » : cos⁡(−π3)=cos⁡(π3)=12\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\boxed{\frac{1}{2}}

sin⁡(−π3)=−sin⁡(π3)=−32\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) =\boxed{-\frac{\sqrt{3}}{2}}

g) 11π6−2π=−π6\dfrac{11\pi}{6}-2\pi=-\dfrac{\pi}{6} : on retire d'abord un tour, ce qui ramène à la forme « −x-x ». cos⁡(11π6)=cos⁡(−π6)=cos⁡(π6)=32\cos\left(\frac{11\pi}{6}\right)=\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) =\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\boxed{\frac{\sqrt{3}}{2}}

sin⁡(11π6)=sin⁡(−π6)=−sin⁡(π6)=−12\sin\left(\frac{11\pi}{6}\right)=\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) =-\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\boxed{-\frac{1}{2}}

h) 4π3=π+π3\dfrac{4\pi}{3}=\pi+\dfrac{\pi}{3}, colonne « π+x\pi+x » : cos⁡(4π3)=cos⁡(π+π3)=−cos⁡(π3)=−12\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right)=\cos\left(\pi+\frac{\pi}{3}\right) =-\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\boxed{-\frac{1}{2}}

sin⁡(4π3)=sin⁡(π+π3)=−sin⁡(π3)=−32\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)=\sin\left(\pi+\frac{\pi}{3}\right) =-\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\boxed{-\frac{\sqrt{3}}{2}}

On constate que c) et d) donnent le même résultat : c'est normal, puisque −5π6+2π=7π6-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi=\dfrac{7\pi}{6}, ces deux réels ont le même point image.

Énoncé PDF, p. 5Corrigé PDF, p. 13Toute la feuilleLe cours

Dans l'édifice

Zéros, périodes et paramétrage du cercle

Thèmes

cosinus, sinus, angles associés

Notions

cosinus et sinus

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