Exercice 17

On utilise à chaque fois le tableau des angles associés. Les termes se regroupent ensuite.

1. $\sin(-x)=-\sin(x)$ et $\cos(-x)=\cos(x)$, donc : $$\sin(-x)+\cos(-x)=-\sin(x)+\cos(x)=\boxed{\cos(x)-\sin(x)}$$

2. $\sin(\pi+x)=-\sin(x)$, donc : $$\sin(-x)-\sin(\pi+x)=-\sin(x)-\left(-\sin(x)\right)=-\sin(x)+\sin(x)=\boxed{0}$$

3. On remarque que $3\pi+x=(\pi+x)+2\pi$, donc $\cos(3\pi+x)=\cos(\pi+x)=-\cos(x)$ : $$\cos(\pi-x)+\cos(3\pi+x)=-\cos(x)-\cos(x)=\boxed{-2\cos(x)}$$

4. On traite les trois termes séparément. D'abord $\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos(x)$ (exercice 18). Ensuite, la fonction cosinus étant inchangée par $u\mapsto -u$ : $$\cos\left(-\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin(x)$$ Enfin $\sin(\pi-x)=\sin(x)$. En rassemblant : $$\cos(x)-3\times\left(-\sin(x)\right)-4\sin(x)=\cos(x)+3\sin(x)-4\sin(x) =\boxed{\cos(x)-\sin(x)}$$

5. $\cos(\pi+x)=-\cos(x)$, $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos(x)$ et $\cos(-x)=\cos(x)$ : $$-\cos(x)+\cos(x)+\cos(x)=\boxed{\cos(x)}$$

6. $\sin(\pi-x)=\sin(x)$, $\sin(\pi+x)=-\sin(x)$ et $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin(x)$ : $$2\sin(x)-3\times\left(-\sin(x)\right)+\sin(x)=2\sin(x)+3\sin(x)+\sin(x)=\boxed{6\sin(x)}$$