Exercice 18

1. En suivant l'indication, on écrit $\dfrac{\pi}{2}+x=\pi-\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$ et l'on applique la colonne « $\pi-x$ » du tableau, avec ici $\dfrac{\pi}{2}-x$ dans le rôle de $x$ : $$\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos\left(\pi-\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right) =-\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\boxed{-\sin(x)}$$

$$\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\sin\left(\pi-\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right) =\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\boxed{\cos(x)}$$ la dernière égalité de chaque ligne provenant de la colonne « $\dfrac{\pi}{2}-x$ ».

2. Par définition de la tangente, et à condition que les dénominateurs soient non nuls : $$\tan(-x)=\frac{\sin(-x)}{\cos(-x)}=\frac{-\sin(x)}{\cos(x)}=\boxed{-\tan(x)}$$

$$\tan(\pi+x)=\frac{\sin(\pi+x)}{\cos(\pi+x)}=\frac{-\sin(x)}{-\cos(x)} =\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=\boxed{\tan(x)}$$ Les deux signes « moins » se compensent dans le second calcul : la tangente est donc inchangée par un demi-tour, alors que le cosinus et le sinus changent tous deux de signe.

3. Il faut que les deux membres existent, ce qui impose trois conditions :

• $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin(x)\neq 0$ pour le membre de gauche ;

• $\cos(x)\neq 0$ pour que $\tan(x)$ existe ;

• $\tan(x)\neq 0$, c'est-à-dire $\sin(x)\neq 0$, pour pouvoir écrire $\dfrac{1}{\tan(x)}$.

Ces conditions reviennent à $\cos(x)\neq 0$ et $\sin(x)\neq 0$, soit : $$\boxed{x\neq \frac{k\pi}{2} \quad \text{avec} \quad k\in\mathbb{Z}}$$ Sous ces conditions, la démonstration est immédiate : $$\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)} =\frac{\cos(x)}{\sin(x)}=\frac{1}{\frac{\sin(x)}{\cos(x)}}=\boxed{\frac{1}{\tan(x)}}$$