Exercice 19

a) $A(x)=-\sin(x)+\sin(x)=\boxed{0}$ : expression constante.

b) $B(x)=\sin(x)-\sin(x)=\boxed{0}$ : expression constante.

c) $\cos(\pi-x)=-\cos(x)$, dont le carré vaut $\cos^{2}(x)$ — le signe disparaît en élevant au carré. De même $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin(x)$ : $$C(x)=\cos^{2}(x)+\sin^{2}(x)=\boxed{1} \; : \; \text{expression \textbf{constante}}$$

d) $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=-\sin(x)$ (exercice 18) et $\sin(\pi-x)=\sin(x)$ : $$D(x)=-\sin(x)+\sin(x)=\boxed{0} \; : \; \text{expression \textbf{constante}}$$

e) $\sin(\pi-x)=\sin(x)$, $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos(x)$ et $\cos(\pi+x)=-\cos(x)$ : $$\begin{aligned} E(x) &= \sin^{2}(x)+\cos^{2}(x)+\cos^{2}(x) \\ &= 1+\cos^{2}(x) \end{aligned}$$

$$\boxed{E(x)=1+\cos^{2}(x)} \; : \; \text{expression qui \textbf{dépend} de } x$$ On le vérifie sur deux valeurs : $E(0)=2$ alors que $E\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1$.

f) $\cos(\pi-x)=-\cos(x)$, $\cos(-x)=\cos(x)$, $\sin(\pi+x)=-\sin(x)$ et $\sin(\pi-x)=\sin(x)$ : $$\begin{aligned} F(x) &= \left(-\cos(x)\right)\times\cos(x)-\left(-\sin(x)\right)\times\sin(x) \\ &= -\cos^{2}(x)+\sin^{2}(x) \end{aligned}$$ et, en remplaçant $\sin^{2}(x)$ par $1-\cos^{2}(x)$ : $$\boxed{F(x)=1-2\cos^{2}(x)} \; : \; \text{expression qui \textbf{dépend} de } x$$