Exercice 20

1. On utilise à chaque fois les deux règles de lecture du cercle, pour $a$ réel donné : $$\cos(X)=\cos(a) \iff X=a+2k\pi \; \text{ ou } \; X=-a+2k\pi \qquad (k\in\mathbb{Z})$$

a) $\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$, donc : $$\cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2} \iff x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \; \text{ ou } \; x=-\frac{\pi}{4}+2k\pi$$

b) $\sin(x)=0$ correspond aux points d'ordonnée nulle, c'est-à-dire aux deux points $I$ et son opposé : les solutions se succèdent donc de $\pi$ en $\pi$. $$\boxed{S_{\mathbb{R}}=\left\{k\pi,\; k\in\mathbb{Z}\right\}} \qquad \boxed{S_{[-\pi;\pi]}=\left\{-\pi\,;0\,;\pi\right\}}$$

c) $2\sin(x)+\sqrt{3}=0 \iff \sin(x)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2} =\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)$, donc : $$x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi \quad \text{ ou } \quad x=\pi-\left(-\frac{\pi}{3}\right)+2k\pi=\frac{4\pi}{3}+2k\pi$$

$$\boxed{S_{\mathbb{R}}=\left\{-\frac{\pi}{3}+2k\pi\right\}\cup\left\{\frac{4\pi}{3}+2k\pi\right\}} \qquad \boxed{S_{[-\pi;\pi]}=\left\{-\frac{2\pi}{3}\,;-\frac{\pi}{3}\right\}}$$ car $\dfrac{4\pi}{3}-2\pi=-\dfrac{2\pi}{3}$.

d) $2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)-1=0 \iff \sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right) =\dfrac{1}{2}=\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$, donc : $$x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad \text{ ou } \quad x+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{6}+2k\pi$$ En retranchant $\dfrac{\pi}{4}$ : $x=\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{\pi}{12}$ ou $x=\dfrac{5\pi}{6}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{10\pi-3\pi}{12}=\dfrac{7\pi}{12}$. $$\boxed{S_{\mathbb{R}}=\left\{-\frac{\pi}{12}+2k\pi\right\}\cup\left\{\frac{7\pi}{12}+2k\pi\right\}} \qquad \boxed{S_{[-\pi;\pi]}=\left\{-\frac{\pi}{12}\,;\frac{7\pi}{12}\right\}}$$

e) $\sin\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{2}=\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$ : $$2x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad \text{ ou } \quad 2x-\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{6}+2k\pi$$

$$2x=\frac{5\pi}{12}+2k\pi \quad \text{ ou } \quad 2x=\frac{13\pi}{12}+2k\pi$$ On divise ensuite tout par $2$, y compris le terme $2k\pi$ — c'est le piège de l'exercice : $$\boxed{S_{\mathbb{R}}=\left\{\frac{5\pi}{24}+k\pi\right\}\cup\left\{\frac{13\pi}{24}+k\pi\right\}}$$ Les solutions se succèdent donc de $\pi$ en $\pi$, et non de $2\pi$ en $2\pi$ : l'intervalle $[-\pi\,;\pi]$ en contient quatre. $$\boxed{S_{[-\pi;\pi]}=\left\{-\frac{19\pi}{24}\,;-\frac{11\pi}{24}\,;\frac{5\pi}{24}\,; \frac{13\pi}{24}\right\}}$$

f) $1-\sqrt{2}\cos\left(\dfrac{\pi}{3}-x\right)=0 \iff \cos\left(\dfrac{\pi}{3}-x\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} =\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$, donc : $$\frac{\pi}{3}-x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \quad \text{ ou } \quad \frac{\pi}{3}-x=-\frac{\pi}{4}+2k\pi$$ d'où $x=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{12}$ ou $x=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{7\pi}{12}$ (le signe de $2k\pi$ est sans importance, $k$ décrivant $\mathbb{Z}$). $$\boxed{S_{\mathbb{R}}=\left\{\frac{\pi}{12}+2k\pi\right\}\cup\left\{\frac{7\pi}{12}+2k\pi\right\}} \qquad \boxed{S_{[-\pi;\pi]}=\left\{\frac{\pi}{12}\,;\frac{7\pi}{12}\right\}}$$

g) $\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$ : $$2x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}+2k\pi \quad \text{ ou } \quad 2x-\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{3}+2k\pi$$

2. Voici les trois figures demandées.

La figure sert de contrôle. Pour a), résoudre $\cos(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ revient à couper le cercle par la droite verticale d'équation $X=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ : elle le coupe en exactement deux points, symétriques par rapport à l'axe des abscisses. De même en c), la droite horizontale d'ordonnée $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ fournit deux points symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. Une équation en $\cos(x)$ ou $\sin(x)$ dont le second membre est strictement compris entre $-1$ et $1$ admet donc toujours deux solutions par tour.

Le cas g) est différent : la présence de $2x$ double le nombre de solutions par tour, et l'on attend donc quatre points. On n'en compte pourtant que quatre points pour cinq solutions : c'est que $-\pi$ et $\pi$, tous deux solutions, ont le même point image. C'est exactement ce que la figure permet de repérer.