Exercice 21

Chaque énoncé se ramène d'abord à une équation ou une inéquation de la forme $\cos(x)=k$, $\sin(x)=k$, $\cos(x)\geqslant k$…

a) $2\cos(x)+3=4 \iff 2\cos(x)=1 \iff \cos(x)=\dfrac{1}{2} =\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$ : $$\boxed{S=\left\{-\frac{\pi}{3}\,;\frac{\pi}{3}\right\}}$$

b) $3\sin(x)=2\sqrt{3}-\sin(x) \iff 4\sin(x)=2\sqrt{3} \iff \sin(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$, d'où $x=\dfrac{\pi}{3}$ ou $x=\pi-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}$ : $$\boxed{S=\left\{\frac{\pi}{3}\,;\frac{2\pi}{3}\right\}}$$

c) $\cos(x)\geqslant \sqrt{2}-\cos(x) \iff 2\cos(x)\geqslant \sqrt{2} \iff \cos(x)\geqslant \dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Sur le cercle, les points d'abscisse supérieure ou égale à $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ forment l'arc compris entre $-\dfrac{\pi}{4}$ et $\dfrac{\pi}{4}$ : $$\boxed{S=\left[-\frac{\pi}{4}\,;\frac{\pi}{4}\right]}$$

d) $-2\sin(x)>\sin(x)-\dfrac{3}{2} \iff -3\sin(x)>-\dfrac{3}{2}$. En divisant par $-3$, le sens de l'inégalité change : $$\sin(x)<\frac{1}{2}$$ Les points d'ordonnée strictement inférieure à $\dfrac{1}{2}$ sont ceux situés en dehors de l'arc joignant $\dfrac{\pi}{6}$ à $\dfrac{5\pi}{6}$ : $$\boxed{S=\left[-\pi\,;\frac{\pi}{6}\right[ \; \cup \; \left]\frac{5\pi}{6}\,;\pi\right]}$$

e) $6\cos(x)+3\sqrt{3}-3<-3 \iff 6\cos(x)<-3\sqrt{3} \iff \cos(x)<-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Les points d'abscisse strictement inférieure à $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ entourent le point $\pi$ : $$\boxed{S=\left[-\pi\,;-\frac{5\pi}{6}\right[ \; \cup \; \left]\frac{5\pi}{6}\,;\pi\right]}$$

f) On multiplie les deux membres par $6$ : $$\frac{4\cos(x)}{3}=\frac{2\cos(x)-3\sqrt{2}}{6} \iff 8\cos(x)=2\cos(x)-3\sqrt{2} \iff 6\cos(x)=-3\sqrt{2}$$ d'où $\cos(x)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)$ : $$\boxed{S=\left\{-\frac{3\pi}{4}\,;\frac{3\pi}{4}\right\}}$$

g) On développe les deux membres : $$\cos^{2}(x)-2\cos(x)+1=\frac{1}{4}-\cos(x)+\cos^{2}(x)+\frac{1}{4}$$ Les termes en $\cos^{2}(x)$ se simplifient — c'est tout l'intérêt de l'énoncé : $$-2\cos(x)+1=-\cos(x)+\frac{1}{2} \iff -\cos(x)=-\frac{1}{2} \iff \cos(x)=\frac{1}{2}$$

h) En remarquant que $\dfrac{3}{\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$, l'équation $\left(\cos(x)-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=2$ équivaut à : $$\cos(x)-\frac{3\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2} \quad \text{ ou } \quad \cos(x)-\frac{3\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}$$ soit $\cos(x)=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\approx 3{,}54$, à rejeter car strictement supérieur à $1$, ou bien $\cos(x)=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ : $$\boxed{S=\left\{-\frac{\pi}{4}\,;\frac{\pi}{4}\right\}}$$

i) On remplace $\cos^{2}(x)$ par $1-\sin^{2}(x)$ pour n'avoir qu'une seule fonction trigonométrique : $$-\left(1-\sin^{2}(x)\right)-2\sin(x)+2=0 \iff \sin^{2}(x)-2\sin(x)+1=0 \iff \left(\sin(x)-1\right)^{2}=0$$ d'où $\sin(x)=1$, qui n'admet qu'un seul point image sur le cercle : $$\boxed{S=\left\{\frac{\pi}{2}\right\}}$$