Exercice 22

1. (a) $X=\cos(x)$ est l'abscisse d'un point du cercle de centre $O$ et de rayon $1$ : elle est donc nécessairement comprise entre $-1$ et $1$, soit $\boxed{X\in[-1\,;1]}$.

(b) Le discriminant du trinôme $4X^{2}+2(\sqrt{2}-1)X-\sqrt{2}$ vaut : $$\begin{aligned} \Delta &= \left(2(\sqrt{2}-1)\right)^{2}-4\times 4\times(-\sqrt{2}) \\ &= 4\left(2-2\sqrt{2}+1\right)+16\sqrt{2} \\ &= 12-8\sqrt{2}+16\sqrt{2}=12+8\sqrt{2} \end{aligned}$$ On constate que ce nombre est un carré parfait, car $(2+2\sqrt{2})^{2}=4+8\sqrt{2}+8 =12+8\sqrt{2}$. Donc $\sqrt{\Delta}=2+2\sqrt{2}$ et : $$X_{1}=\frac{-2(\sqrt{2}-1)+2+2\sqrt{2}}{8}=\frac{-2\sqrt{2}+2+2+2\sqrt{2}}{8} =\frac{4}{8}=\boxed{\frac{1}{2}}$$

$$X_{2}=\frac{-2(\sqrt{2}-1)-2-2\sqrt{2}}{8}=\frac{-2\sqrt{2}+2-2-2\sqrt{2}}{8} =\frac{-4\sqrt{2}}{8}=\boxed{-\frac{\sqrt{2}}{2}}$$ Ces deux valeurs appartiennent bien à $[-1\,;1]$ : elles sont donc toutes deux exploitables.

(c) $f(x)=0$ équivaut à $\cos(x)=\dfrac{1}{2}$ ou $\cos(x)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Sur $]-\pi\,;\pi]$, la première donne $\pm\dfrac{\pi}{3}$ et la seconde $\pm\dfrac{3\pi}{4}$ : $$\boxed{S=\left\{-\frac{3\pi}{4}\,;-\frac{\pi}{3}\,;\frac{\pi}{3}\,;\frac{3\pi}{4}\right\}}$$

2. (a) Le coefficient de $X^{2}$ étant positif, le trinôme est strictement positif à l'extérieur de ses racines, c'est-à-dire pour $X<-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ou $X>\dfrac{1}{2}$. En intersectant avec $[-1\,;1]$ : $$\boxed{S_{X}=\left[-1\,;-\frac{\sqrt{2}}{2}\right[ \; \cup \; \left]\frac{1}{2}\,;1\right]}$$

(b) Il reste à traduire ces deux conditions sur $x$.

D'une part $\cos(x)<-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ : sur $]-\pi\,;\pi]$, cela correspond aux points entourant $\pi$, soit $x\in\left]-\pi\,;-\dfrac{3\pi}{4}\right[\cup \left]\dfrac{3\pi}{4}\,;\pi\right]$. On prendra garde à ce que $\pi$ soit inclus ($\cos(\pi)=-1$ convient) mais que $-\pi$ soit exclu, car il n'appartient pas à l'ensemble de définition.

D'autre part $\cos(x)>\dfrac{1}{2}$ correspond à l'arc entourant $0$, soit $x\in\left]-\dfrac{\pi}{3}\,;\dfrac{\pi}{3}\right[$. Finalement : $$\boxed{S=\left]-\pi\,;-\frac{3\pi}{4}\right[ \; \cup \; \left]-\frac{\pi}{3}\,;\frac{\pi}{3}\right[ \; \cup \; \left]\frac{3\pi}{4}\,;\pi\right]}$$