Exercice 23

Le carré est orienté dans le sens direct, c'est-à-dire le sens inverse des aiguilles d'une montre. L'angle $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)$ vaut donc $+\dfrac{\pi}{2}$, et non $-\dfrac{\pi}{2}$. Toutes les mesures se lisent alors sur la figure, les diagonales étant les bissectrices des angles du carré.

a) $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$ portent deux côtés consécutifs, dans le sens direct : $$\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)=\boxed{\frac{\pi}{2}}$$

b) $[AC]$ est la diagonale issue de $A$, donc la bissectrice de l'angle précédent : $$\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\boxed{\frac{\pi}{4}}$$

c) Par la relation de Chasles, $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right)=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{4}$ : $$\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right)=\boxed{\frac{\pi}{4}}$$

d) $\overrightarrow{CD}$ est le vecteur opposé de $\overrightarrow{AB}$ : $$\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right)=\boxed{\pi}$$

e) $\overrightarrow{DB}$ est dirigé vers le bas et vers la droite, à $-\dfrac{\pi}{4}$ de $\overrightarrow{AB}$ : $$\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DB}\right)=\boxed{-\frac{\pi}{4}}$$

f) $[BD]$ est la diagonale issue de $B$ : $$\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD}\right)=\boxed{\frac{\pi}{4}}$$

g) $[CA]$ est la diagonale issue de $C$ : $$\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right)=\boxed{\frac{\pi}{4}}$$

h) $\overrightarrow{DA}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont deux vecteurs opposés : $$\left(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{BC}\right)=\boxed{\pi}$$

On remarque en h) que $\overrightarrow{DA}$ et $\overrightarrow{BC}$ ont même direction et même norme mais des sens contraires : c'est bien un angle plat, dont l'unique mesure principale est $\pi$ (et non $-\pi$, exclu de $]-\pi\,;\pi]$).