Exercice 24

1. La relation de Chasles donne directement : $$\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{w}\right)=\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)+\left(\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right) =\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{3}=\frac{\pi}{6}+\frac{4\pi}{6}=\boxed{\frac{5\pi}{6}}$$ Les trois autres s'obtiennent en changeant l'ordre des vecteurs, ce qui change le signe : $$\left(\overrightarrow{w},\overrightarrow{u}\right)=\boxed{-\frac{5\pi}{6}} \qquad \left(\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}\right)=\boxed{-\frac{\pi}{6}} \qquad \left(\overrightarrow{w},\overrightarrow{v}\right)=\boxed{-\frac{2\pi}{3}}$$ Ces quatre mesures appartiennent bien à $]-\pi\,;\pi]$.

2. Ici c'est $\left(\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)$ qui est cherché : on passe par $\overrightarrow{u}$. $$\left(\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)=\left(\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}\right)+\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{w}\right) =-\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)+\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{w}\right) =\frac{3\pi}{4}+\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{4}+\frac{2\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}$$ Ce résultat n'appartient pas à $]-\pi\,;\pi]$ : on retranche un tour. $$\frac{5\pi}{4}-2\pi=\boxed{-\frac{3\pi}{4}}$$

3. Puisque $\left(\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}\right)=-\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ : $$\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)+\left(\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}\right) =\frac{5\pi}{7}-\frac{5\pi}{7}=\boxed{0}$$ On l'interprète ainsi : aller de $\overrightarrow{u}$ à $\overrightarrow{v}$, puis revenir de $\overrightarrow{v}$ à $\overrightarrow{u}$, ramène à la direction de départ. C'est d'ailleurs le cas particulier de la relation de Chasles avec $\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}$, puisque $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{u}\right)=0$.