Exercice 25

1. Les six rayons partagent le tour complet en six angles égaux, chacun de mesure $\dfrac{2\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}$. En parcourant dans le sens direct : $$\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right)=\boxed{\frac{\pi}{3}} \qquad \left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}\right)=\boxed{\frac{2\pi}{3}} \qquad \left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OD}\right)=\boxed{\pi}$$ Pour le dernier, le parcours direct donne $\dfrac{4\pi}{3}$, qui dépasse $\pi$ : on retranche un tour. $$\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OE}\right)=\frac{4\pi}{3}-2\pi=\boxed{-\frac{2\pi}{3}}$$

2. En décomposant le trajet de $\overrightarrow{OA}$ à $\overrightarrow{OD}$ en trois étapes : $$\begin{aligned} \left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OD}\right) &= \left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right)+\left(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\right) +\left(\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OD}\right) \\ &= \frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}=\boxed{\pi} \end{aligned}$$ On retrouve bien le résultat précédent : $A$, $O$ et $D$ sont alignés, $[AD]$ étant un diamètre du cercle circonscrit.

3. Le triangle $OAB$ est isocèle en $O$ avec un angle au sommet de $\dfrac{\pi}{3}$ : il est donc équilatéral, et l'angle $\widehat{OAB}$ mesure $\dfrac{\pi}{3}$. Il en va de même pour $\widehat{OAF}$, d'où : $$\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AF}\right)=\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AO}\right) +\left(\overrightarrow{AO},\overrightarrow{AF}\right)=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}=\boxed{\frac{2\pi}{3}}$$ On retrouve ainsi que chaque angle intérieur d'un hexagone régulier mesure $\dfrac{2\pi}{3}$, c'est-à-dire $120^{\circ}$.

4. Le côté $[ED]$ se déduit du côté $[AB]$ par la symétrie de centre $O$, qui envoie $A$ sur $D$ et $B$ sur $E$. Une symétrie centrale transformant tout vecteur en son opposé, elle envoie $\overrightarrow{AB}$ sur $\overrightarrow{DE}=-\overrightarrow{AB}$, et donc $\overrightarrow{ED}=-\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AB}$. Les deux vecteurs sont égaux : $$\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{ED}\right)=\boxed{0}$$ Un angle nul signifie que les deux vecteurs ont même direction et même sens. On en déduit donc que $\boxed{(AB) \text{ et } (ED) \text{ sont parallèles}}$ ; plus précisément, $ABDE$ est un parallélogramme.