ExercicePremière, chapitre 6 — Trigonométrie · Exercices de synthèse

Exercice 26 QCM

QCMDémonstration

Pour chaque question, une seule réponse est exacte. La justifier.

Question	Réponse A	Réponse B	Réponse C
1. La mesure principale de $\dfrac{47\pi}{6}$ est :	$\dfrac{11\pi}{6}$	$-\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{5\pi}{6}$
2. En radians, $210^{\circ}$ vaut :	$\dfrac{5\pi}{6}$	$\dfrac{11\pi}{6}$	$\dfrac{7\pi}{6}$
3. $\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$ vaut :	$-\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
4. $\sin\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right)$ vaut :	$\dfrac{1}{2}$	$-\dfrac{1}{2}$	$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
5. $\tan\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)$ vaut :	$-1$	$1$	$\sqrt{3}$
6. Si $\cos(x)=-\dfrac{2}{3}$ et $x\in\left]\dfrac{\pi}{2}\,;\pi\right[$ , alors $\sin(x)$ vaut :	$\dfrac{\sqrt{5}}{3}$	$-\dfrac{\sqrt{5}}{3}$	$\dfrac{5}{9}$
7. Pour tout réel $x$ , $\cos(\pi+x)$ vaut :	$\cos(x)$	$\sin(x)$	$-\cos(x)$
8. Dans $\mathbb{R}$ , l'équation $\cos(x)=\dfrac{3}{2}$ admet :	aucune solution	deux solutions	une infinité de solutions
9. Les solutions de $\sin(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ dans $]-\pi\,;\pi]$ sont :	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{4}$ et $-\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{4}$ et $\dfrac{3\pi}{4}$
10. Si $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=\dfrac{\pi}{5}$ et $\left(\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)=\dfrac{\pi}{3}$ , alors $\left(\overrightarrow{w},\overrightarrow{u}\right)$ vaut :	$\dfrac{8\pi}{15}$	$-\dfrac{8\pi}{15}$	$\dfrac{2\pi}{15}$

Corrigé

Question	Réponse	Justification
1	B	$\dfrac{47\pi}{6}-4\times 2\pi=\dfrac{47\pi-48\pi}{6}=-\dfrac{\pi}{6}$ . La réponse A, $\dfrac{11\pi}{6}$ , est bien une mesure de cet angle, mais elle n'appartient pas à $]-\pi\,;\pi]$ .
2	C	$\dfrac{210\pi}{180}=\dfrac{7\pi}{6}$ .
3	A	$\dfrac{2\pi}{3}=\pi-\dfrac{\pi}{3}$ , donc $\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=-\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{2}$ .
4	B	$\sin\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right)=-\sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) =-\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{2}$ .
5	B	$\dfrac{5\pi}{4}=\pi+\dfrac{\pi}{4}$ : le cosinus et le sinus valent tous deux $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , et leur quotient vaut $1$ .
6	A	$\sin^{2}(x)=1-\dfrac{4}{9}=\dfrac{5}{9}$ donc $\sin(x)=\pm\dfrac{\sqrt{5}}{3}$  ; le point image étant dans le $2^{\text{e}}$ quadrant, son ordonnée est positive. La réponse C confond $\sin(x)$ et $\sin^{2}(x)$ .
7	C	Colonne «  $\pi+x$  » du tableau des angles associés.
8	A	$\dfrac{3}{2}>1$ , or le cosinus d'un réel est toujours compris entre $-1$ et $1$ .
9	C	$\sin(x)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ donne $x=\dfrac{\pi}{4}$ ou $x=\pi-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{4}$ . La réponse B est le piège du cosinus : pour un sinus, les deux points sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.
10	B	Chasles donne $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{w}\right)=\dfrac{\pi}{5}+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{3\pi+5\pi}{15} =\dfrac{8\pi}{15}$ , et l'angle cherché en est l'opposé.

radians, mesure principale, cosinus, sinus, tangente, angles associés, équations trigonométriques, angles orientés