Exercice 27 Vrai ou faux

1. Fausse. Il suffit d'un contre-exemple : $$\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) =\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\neq 1$$ On prendra garde à ne pas choisir $x=0$ ou $x=\dfrac{\pi}{2}$, pour lesquels l'égalité est justement vérifiée : ce ne sont pas des contre-exemples.

2. Vraie. La conversion donne : $$1 \text{ rad}=\frac{180\times 1}{\pi}=\frac{180}{\pi}\approx 57{,}30^{\circ} \; > \; 57^{\circ}$$

3. Vraie. Le réel $x=\dfrac{\pi}{4}$ convient, puisque $\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Géométriquement, son point image est sur la bissectrice du premier quadrant, où abscisse et ordonnée sont égales.

4. Vraie. On calcule la différence des deux réels : $$\frac{7\pi}{3}-\left(-\frac{5\pi}{3}\right)=\frac{12\pi}{3}=4\pi=2\times 2\pi$$ Cette différence est un multiple entier de $2\pi$ : les deux réels ont donc bien le même point image.

5. Fausse. La mesure principale appartient par définition à $]-\pi\,;\pi]$. Par exemple, la mesure principale de $\dfrac{3\pi}{2}$ est $-\dfrac{\pi}{2}$, qui n'appartient pas à $[0\,;2\pi[$.

6. Fausse. La bonne formule est $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin(x)$. Contre-exemple avec $x=0$ : $$\cos\left(\frac{\pi}{2}-0\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 \qquad \text{alors que} \qquad \cos(0)=1$$

7. Fausse. L'équation $\sin(x)=\dfrac{1}{2}$ admet deux points images sur le cercle, et donc une infinité de solutions. Le réel $x=\dfrac{5\pi}{6}$ en est une autre, puisque $\sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=\sin\left(\pi-\dfrac{\pi}{6}\right) =\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}$.

8. Vraie. On reconnaît l'identité remarquable : $$\cos^{4}(x)+2\cos^{2}(x)\sin^{2}(x)+\sin^{4}(x)=\left(\cos^{2}(x)+\sin^{2}(x)\right)^{2} =1^{2}=1$$

9. Fausse. La proposition 4 du cours affirme au contraire que $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=-\left(\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}\right)$. Contre-exemple : si $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=\dfrac{\pi}{2}$, alors $\left(\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}\right)=-\dfrac{\pi}{2}$, qui en diffère. L'égalité n'a lieu que lorsque l'angle vaut $0$ ou $\pi$.

10. Vraie. Si $x\in\left]\dfrac{\pi}{2}\,;\pi\right[$, le point image est dans le $2^{\text{e}}$ quadrant : son abscisse $\cos(x)$ est strictement négative et son ordonnée $\sin(x)$ strictement positive. Le quotient $\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$ est donc strictement négatif.