ExercicePremière, chapitre 7 — Produit scalaire · Vecteur normal et équations de droites

Exercice 20

Calcul

Pour chacune des droites suivantes, donner un vecteur normal, puis un vecteur directeur.

a) $d_{1} : 3x-5y+2=0$

b) $d_{2} : x+4y=0$

c) $d_{3} : 2x-7=0$

d) $d_{4} : -y+3=0$

e) $d_{5} : \dfrac{x}{2}+3y-1=0$

f) $d_{6} : -4x+y+9=0$

Pour c) et d), préciser la position particulière de la droite dans le repère.

Corrigé

D'après la proposition 1, la droite $ax+by+c=0$ admet $\vec{n}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ pour vecteur normal et $\vec{u}\begin{pmatrix} b \\ -a \end{pmatrix}$ pour vecteur directeur.

Droite	Vecteur normal	Vecteur directeur
$d_{1} : 3x-5y+2=0$	$\begin{pmatrix} 3 \\ -5 \end{pmatrix}$	$\begin{pmatrix} -5 \\ -3 \end{pmatrix}$
$d_{2} : x+4y=0$	$\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$	$\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}$
$d_{3} : 2x-7=0$	$\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}$	$\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix}$
$d_{4} : -y+3=0$	$\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}$	$\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}$
$d_{5} : \frac{x}{2}+3y-1=0$	$\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\[1mm] 3 \end{pmatrix}$ ou $\begin{pmatrix} 1 \\ 6 \end{pmatrix}$	$\begin{pmatrix} 6 \\ -1 \end{pmatrix}$
$d_{6} : -4x+y+9=0$	$\begin{pmatrix} -4 \\ 1 \end{pmatrix}$	$\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$

On rappelle qu'un vecteur normal (ou directeur) n'est jamais unique : tout vecteur colinéaire non nul convient également, ce dont on profite en $d_{5}$ pour éliminer la fraction.

L'équation de $d_{3}$ se réécrit $x=\dfrac{7}{2}$ : $\boxed{d_{3} \text{ est une droite verticale}}$

Celle de $d_{4}$ se réécrit $y=3$ : $\boxed{d_{4} \text{ est une droite horizontale}}$

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Dans l'édifice

Produit scalaire et inégalité de Cauchy-Schwarz

Thèmes

vecteur normal, équations de droites

Notions

produit scalaire