Feuille d'exercicesPremière, chapitre 7

Produit scalaire

35 exercices corrigés · 16 17 2

Définition géométrique

Exercice 1 Dans chaque cas, calculer le produit scalaire vec u·vec v à partir des données suivantes. On donnera des valeurs exactes. a) |vec u|=3, |vec v|=5 et…
Exercice 2 1. ABC est un triangle tel que AB=5, AC=4 et widehat BAC= π/3. Faire une figure, puis calculer overrightarrow AB·overrightarrow AC. 2. ABCD est un…
Exercice 3 Calculer overrightarrow AB·overrightarrow AC pour chacune des trois figures suivantes. Pour la figure 2, on commencera par déterminer la mesure de…
Exercice 4 On a construit la figure ci-dessous en traçant deux cercles de centre O tels que OI=2 et OJ=3. Les points I, J et K appartiennent à l'axe…
Exercice 5 1. Pour chacune des mesures d'angle (vec u,vec v) suivantes, donner le signe de vec u·vec v, où vec u et vec v sont deux vecteurs non nuls: (a) π/4…
Exercice 6 Sur chacune des deux figures ci-dessous, H désigne le projeté orthogonal de C sur la droite (AB). 1. Pour chaque figure, préciser si overrightarrow…
Exercice 7 À chacune des cinq figures ci-dessous, faire correspondre le calcul de overrightarrow AB·overrightarrow AC adapté, choisi dans la liste suivante. On…
Exercice 8 ABCD est un rectangle tel que AB=6 et AD=4. 1. En utilisant à chaque fois le projeté orthogonal, calculer: (a) overrightarrow AB·overrightarrow AC…

Exercice 9 Le plan est muni d'un repère orthonormé. Calculer vec u·vec v dans chacun des cas suivants. a) vec ubegin pmatrix 2 5 end pmatrix et vec vbegin…
Exercice 10 Dans un repère orthonormé, on considère les points A(-1;2), B(3;4) et C(2;-1). 1. Placer ces trois points dans un repère. 2. Déterminer les…
Exercice 11 1. Les vecteurs vec ubegin pmatrix 3 -2 end pmatrix et vec vbegin pmatrix 4 6 end pmatrix sont-ils orthogonaux ? 2. Même question pour vec ubegin…
Exercice 12 Le produit scalaire admet deux expressions: l'une géométrique, l'autre avec les coordonnées. En les égalant, on obtient l'angle entre deux vecteurs:…
Exercice 13 Pour chacun des triangles suivants, faire une figure, puis déterminer sa nature en justifiant par des produits scalaires et des calculs de…

Exercice 14 Soient vec u, vec v et vec w trois vecteurs du plan. Développer et réduire les expressions suivantes, en utilisant vec u·vec u=|vec u|^2. a) (vec…
Exercice 15 On donne |vec u|=3, |vec v|=5 et vec u·vec v=-4. Calculer: a) |vec u+vec v|^2, puis |vec u+vec v| b) |vec u-vec v|^2, puis |vec u-vec v| c) (2vec…
Exercice 16 1. ABC est un triangle tel que AB=7, AC=5 et BC=6. (a) Justifier que overrightarrow AB-overrightarrow AC=overrightarrow CB. (b) En utilisant la…
Exercice 17 ABCD est un parallélogramme quelconque. On pose vec u=overrightarrow AB et vec v=overrightarrow AD. 1. Justifier que overrightarrow AC=vec u+vec v…
Exercice 18 1. Démontrer que pour tous vecteurs vec u et vec v: (vec u+vec v)·(vec u-vec v)=|vec u|^2-|vec v|^2 2. En déduire que si |vec u|=|vec v|, alors les…
Exercice 19 La figure ci-dessous est constituée d'un carré ABCD de côté 1 et d'un triangle BEC équilatéral. Le point F est le centre du carré, c'est-à-dire le…

Exercice 20 Pour chacune des droites suivantes, donner un vecteur normal, puis un vecteur directeur. a) d_1: 3x-5y+2=0 b) d_2: x+4y=0 c) d_3: 2x-7=0 d) d_4:…
Exercice 21 Déterminer une équation cartésienne de la droite d dans chacun des cas suivants. 1. d admet vec nbegin pmatrix 2 5 end pmatrix pour vecteur normal…
Exercice 22 1. Déterminer une équation cartésienne de la droite perpendiculaire à d: 2x-3y+1=0 passant par A(4;1). 2. Les droites d: x+2y-3=0 et d': 2x-y+5=0…
Exercice 23 Dans un repère orthonormé, on considère les points A(1;2), B(5;4) et C(0;6). 1. Placer les trois points et tracer le triangle ABC. 2. Déterminer une…
Exercice 24 Dans un repère orthonormé, on considère la droite d: 2x+y-4=0 et le point A(3;4). 1. Tracer d et placer A. 2. Déterminer une équation cartésienne de…

Exercice 25 1. Déterminer une équation du cercle C dans chacun des cas suivants: (a) centre Ω(2;-3) et rayon 5; (b) centre O(0;0) et rayon √7; (c) centre…
Exercice 26 1. Déterminer une équation du cercle de centre A(-2;1) passant par le point B(3;4). 2. Déterminer une équation du cercle de diamètre [AB], où…
Exercice 27 Dans chaque cas, déterminer si l'équation proposée est celle d'un cercle. Si oui, en préciser le centre et le rayon. On fera apparaître des…
Exercice 28 Dans un repère orthonormé, on considère les points A(-1;2) et B(5;4). On note E l'ensemble des points M(x;y) du plan tels que overrightarrow…
Exercice 29 1. On considère le cercle C d'équation x^2+y^2=25 et la droite d d'équation y=x+1. (a) Tracer C et d dans un même repère. (b) Déterminer par le…

Exercice 30 · QCM Pour chaque question, une seule réponse est exacte. La justifier. Le plan est muni d'un repère orthonormé.
Exercice 31 · Vrai ou faux Chacune des affirmations suivantes est-elle vraie ou fausse ? Justifier la réponse: par une démonstration si l'affirmation est vraie, par un…
Exercice 32 · Type Bac Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les points A(-2;1), B(4;3) et C(2;-3). Partie A: nature du triangle. 1. Placer les trois…
Exercice 33 · Type Bac ABCD est un carré de côté a>0. On note I le milieu de [BC] et J celui de [CD]. 1. Faire une figure soignée avec a=6 cm, puis tracer les segments…
Exercice 34 Partie A: le théorème d'Al-Kashi. Soit ABC un triangle quelconque. On note a=BC, b=AC, c=AB, et α la mesure de l'angle widehat BAC. 1. Justifier…
Exercice 35 Dans un repère orthonormé, on considère les points A(0;0) et B(4;0). Pour tout réel k, on note E_k l'ensemble des points M(x;y) du plan tels que:…