Exercice 2

1. Avec la remarque du cours, $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AC \times\cos\left(\widehat{BAC}\right)$ : $$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=5\times 4\times\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) =20\times\frac{1}{2}=\boxed{10}$$

2. Dans le carré $ABCD$ de côté $3$, la diagonale mesure $AC=3\sqrt{2}$.

(a) $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$ portent deux côtés consécutifs : ils sont orthogonaux. $$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=\boxed{0}$$

(b) La diagonale $[AC]$ est bissectrice de l'angle droit, donc $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{\pi}{4}$ : $$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=3\times 3\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2} =\frac{9\times 2}{2}=\boxed{9}$$

(c) $\overrightarrow{CD}$ est l'opposé de $\overrightarrow{AB}$ : ces vecteurs sont colinéaires de sens contraires. $$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=-3\times 3=\boxed{-9}$$

(d) Les diagonales d'un carré sont perpendiculaires : $$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=\boxed{0}$$

3. Dans le triangle équilatéral, tous les angles valent $\dfrac{\pi}{3}$ : $$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=6\times 6\times\frac{1}{2}=\boxed{18}$$ Pour le second, attention : l'angle du triangle en $B$ est celui entre $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BC}$, alors qu'ici le premier vecteur est $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}$. En reportant les deux vecteurs à partir d'une même origine, on obtient : $$\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}$$