Exercice 1

On applique la définition $\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\| \times\cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)$.

a) $3\times 5\times\dfrac{1}{2}=\boxed{\dfrac{15}{2}}$

b) $2\times 7\times(-1)=\boxed{-14}$

c) $4\times 6\times 0=\boxed{0}$

d) $1\times 8\times 1=\boxed{8}$

e) $5\times 2\times\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\boxed{-5\sqrt{2}}$

f) $3\times 4\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\boxed{6\sqrt{3}}$

g) $2\times 3\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\boxed{-3}$

h) Par convention, si l'un des vecteurs est nul : $\boxed{0}$

En e) l'angle est obtus et le produit est négatif ; en f) l'angle est aigu et le produit positif. Le signe ne dépend donc pas du signe de l'angle, mais de celui de son cosinus : $\cos$ étant une fonction paire, $\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) =\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$. $$\boxed{\text{Le signe de } \vec{u}\cdot\vec{v} \text{ est celui de } \cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)}$$