Exercice 3

Figure 1. L'angle entre les deux vecteurs vaut directement $120^{\circ}$ : $$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=4\times 3\times\cos(120^{\circ}) =12\times\left(-\frac{1}{2}\right)=\boxed{-6}$$ Le produit est négatif, ce qui est cohérent avec un angle obtus.

Figure 2. Les codages indiquent $AB=AC=3$ : le triangle est isocèle en $A$. Ses angles à la base sont donc égaux, et comme celui en $B$ vaut $75^{\circ}$ : $$\widehat{BAC}=180^{\circ}-2\times 75^{\circ}=30^{\circ}$$

Figure 3. Le carré a pour côté $2$, donc $AB=2$ et $AC=2\sqrt{2}$. La diagonale étant bissectrice, $\widehat{BAC}=45^{\circ}$ : $$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\times 2\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=\boxed{4}$$

On pouvait aussi traiter la figure 3 par le projeté orthogonal : le projeté de $C$ sur $(AB)$ est $B$, donc $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}=AB^{2}=4$.