Exercice 4

On repère d'abord les longueurs : $OI=2$, $OA=2$ (le point $A$ est sur le petit cercle), $OJ=OK=OB=3$ (les trois autres sont sur le grand cercle).

a) $\overrightarrow{OI}$ et $\overrightarrow{OJ}$ sont colinéaires de même sens : $$\overrightarrow{OI}\cdot\overrightarrow{OJ}=2\times 3=\boxed{6}$$

b) $\overrightarrow{OI}$ et $\overrightarrow{OK}$ sont colinéaires de sens contraires : $$\overrightarrow{OI}\cdot\overrightarrow{OK}=-2\times 3=\boxed{-6}$$

c) L'angle $\left(\overrightarrow{OK},\overrightarrow{OB}\right)$ mesure $-60^{\circ}$, et $\overrightarrow{OK}$ est opposé à $\overrightarrow{OI}$, donc $\left(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OB}\right)=180^{\circ}-60^{\circ} =120^{\circ}$ : $$\overrightarrow{OI}\cdot\overrightarrow{OB}=2\times 3\times\cos(120^{\circ})=\boxed{-3}$$

d) Le point $A$ étant sur l'axe vertical, $\left(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OA}\right)=90^{\circ}$, d'où $\left(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OA}\right)=120^{\circ}+90^{\circ}=210^{\circ}$, dont le cosinus vaut celui de $150^{\circ}$ : $$\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OA}=3\times 2\times\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) =\boxed{-3\sqrt{3}\approx -5{,}20}$$

e) Les deux vecteurs n'ont pas la même origine. Le triangle $OAI$ est rectangle isocèle en $O$ (car $OA=OI=2$), donc ses angles à la base valent $45^{\circ}$, et $AI=2\sqrt{2}$. L'angle entre $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{AI}$ vaut alors $180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}$ : $$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AI}=2\times 2\sqrt{2}\times\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\boxed{-4}$$

f) De même, $\left(\overrightarrow{IA},\overrightarrow{IJ}\right)=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}$, avec $IA=2\sqrt{2}$ et $IJ=OJ-OI=1$ : $$\overrightarrow{IA}\cdot\overrightarrow{IJ}=2\sqrt{2}\times 1\times\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) =\boxed{-2}$$

On peut contrôler ces six résultats en plaçant un repère orthonormé d'origine $O$ : on a alors $I(2\,;0)$, $J(3\,;0)$, $K(-3\,;0)$, $A(0\,;2)$ et $B\left(-\dfrac{3}{2}\,;-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)$.