ExercicePremière, chapitre 7 — Produit scalaire · Définition géométrique

Exercice 5

Calcul

1. Pour chacune des mesures d'angle $(\vec{u},\vec{v})$ suivantes, donner le signe de $\vec{u}\cdot\vec{v}$ , où $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs non nuls :

(a) $\dfrac{\pi}{4}$

(b) $\dfrac{2\pi}{3}$

(c) $\dfrac{\pi}{2}$

(d) $0$

(e) $\pi$

(f) $\dfrac{5\pi}{6}$

(g) $-\dfrac{\pi}{3}$

(h) $-\dfrac{3\pi}{4}$

2. Compléter : $\vec{u}\cdot\vec{v}>0$ si et seulement si la mesure principale de $(\vec{u},\vec{v})$ appartient à l'intervalle ……

3. On donne $\|\vec{u}\|=7$ . Que vaut $\vec{u}\cdot\vec{u}$  ?

4. Deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ vérifient $\|\vec{u}\|=4$ et $\|\vec{v}\|=3$ . Que vaut $\vec{u}\cdot\vec{v}$ si les deux vecteurs sont colinéaires de même sens ? de sens contraire ? orthogonaux ?

5. En déduire que pour tous vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ : $-\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\| \;\leqslant\; \vec{u}\cdot\vec{v} \;\leqslant\; \|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|$

Corrigé

1. Le signe de $\vec{u}\cdot\vec{v}$ est celui de $\cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)$ :

Angle	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{2\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$	$0$	$\pi$	$\dfrac{5\pi}{6}$	$-\dfrac{\pi}{3}$	$-\dfrac{3\pi}{4}$
Signe	$>0$	$<0$	$=0$	$>0$	$<0$	$<0$	$>0$	$<0$

2. Le cosinus est strictement positif exactement sur le premier et le quatrième quadrant : $\boxed{\vec{u}\cdot\vec{v}>0 \iff \text{la mesure principale de } (\vec{u},\vec{v}) \text{ appartient à } \left]-\frac{\pi}{2}\,;\frac{\pi}{2}\right[}$

3. D'après la proposition 1, $\vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^{2}$ : $\vec{u}\cdot\vec{u}=7^{2}=\boxed{49}$

4. $\boxed{\begin{array}{ll} \text{colinéaires de même sens } (\cos=1) & : \; \vec{u}\cdot\vec{v}=4\times 3=12 \\[1mm] \text{colinéaires de sens contraires } (\cos=-1) & : \; \vec{u}\cdot\vec{v}=-12 \\[1mm] \text{orthogonaux } (\cos=0) & : \; \vec{u}\cdot\vec{v}=0 \end{array}}$

5. Pour tout réel $\theta$ , on a $-1\leqslant\cos(\theta)\leqslant 1$ . En multipliant par $\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|$ , qui est positif, l'ordre est conservé : $-\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\| \leqslant \|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|\times \cos\left(\vec{u},\vec{v}\right) \leqslant \|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|$

$\boxed{-\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\| \leqslant \vec{u}\cdot\vec{v} \leqslant \|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|}$ Les deux cas d'égalité sont exactement ceux de la question 4 : la colinéarité.

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Dans l'édifice

Produit scalaire et inégalité de Cauchy-Schwarz Normes et topologie associée

Thèmes

produit scalaire, norme, angle et cosinus, orthogonalité

Notions

norme, produit scalaire