Exercice 33 Type Bac

1. En traçant le carré et les deux segments, on constate qu'ils semblent se couper à angle droit. $$\boxed{\text{Conjecture : les droites } (AI) \text{ et } (BJ) \text{ sont perpendiculaires}}$$

2. Dans le repère $\left(A\,;\dfrac{1}{a}\overrightarrow{AB},\dfrac{1}{a}\overrightarrow{AD}\right)$, les deux vecteurs de base sont unitaires et orthogonaux : le repère est bien orthonormé, et les coordonnées sont exprimées en multiples de $a$. $$\boxed{A(0\,;0) \quad ; \quad B(a\,;0) \quad ; \quad C(a\,;a) \quad ; \quad D(0\,;a)}$$ Le point $I$ est le milieu de $[BC]$ et $J$ celui de $[CD]$ : $$\boxed{I\left(a\,;\frac{a}{2}\right) \qquad ; \qquad J\left(\frac{a}{2}\,;a\right)}$$

3. $$\overrightarrow{AI}\begin{pmatrix} a \\[1mm] \frac{a}{2} \end{pmatrix} \qquad ; \qquad \overrightarrow{BJ}\begin{pmatrix} \frac{a}{2}-a \\[1mm] a \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -\frac{a}{2} \\[1mm] a \end{pmatrix}$$

$$\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{BJ}=a\times\left(-\frac{a}{2}\right)+\frac{a}{2}\times a =-\frac{a^{2}}{2}+\frac{a^{2}}{2}=\boxed{0}$$ Le produit scalaire est nul, donc les deux vecteurs sont orthogonaux : $$\boxed{\text{La conjecture est démontrée : } (AI)\perp(BJ)}$$

4. Avec $\overrightarrow{AJ}\begin{pmatrix} \frac{a}{2} \\[1mm] a \end{pmatrix}$ : $$\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{AJ}=a\times\frac{a}{2}+\frac{a}{2}\times a=\boxed{a^{2}}$$

$$\cos\left(\widehat{IAJ}\right)=\frac{a^{2}} {\frac{a\sqrt{5}}{2}\times\frac{a\sqrt{5}}{2}}=\frac{a^{2}}{\frac{5a^{2}}{4}} =\boxed{\frac{4}{5}}$$ Ce résultat ne dépend pas de $a$, ce qui est logique : tous les carrés sont semblables. $$\boxed{\widehat{IAJ}\approx 36{,}9^{\circ}}$$

5. Dans le rectangle, $B(L\,;0)$, $C(L\,;\ell)$, $D(0\,;\ell)$, donc $I\left(L\,;\dfrac{\ell}{2}\right)$ et $J\left(\dfrac{L}{2}\,;\ell\right)$ : $$\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{BJ}=L\times\left(-\frac{L}{2}\right)+\frac{\ell}{2}\times\ell =\frac{\ell^{2}-L^{2}}{2}$$ Ce produit est nul si et seulement si $\ell^{2}=L^{2}$, soit, ces longueurs étant positives : $$\boxed{(AI)\perp(BJ) \iff L=\ell, \text{ c'est-à-dire si et seulement si le rectangle est un carré}}$$ La propriété est donc caractéristique du carré : elle tombe en défaut dès que le rectangle s'allonge.