Exercice 32 Type Bac

Partie A : nature du triangle.

1. Voici la figure, complétée du cercle circonscrit obtenu à la partie C.

2. On calcule les coordonnées des vecteurs, puis les longueurs : $$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix} \quad ; \quad \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 4 \\ -4 \end{pmatrix} \quad ; \quad \overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} -2 \\ -6 \end{pmatrix}$$

3. $$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=6\times 4+2\times(-4)=24-8=\boxed{16}$$

$$\cos\left(\widehat{BAC}\right)=\frac{16}{2\sqrt{10}\times 4\sqrt{2}} =\frac{16}{8\sqrt{20}}=\frac{2}{2\sqrt{5}}=\boxed{\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}}$$ Comme $\dfrac{\sqrt{5}}{5}\approx 0{,}4472$, la calculatrice donne : $$\boxed{\widehat{BAC}\approx 63{,}4^{\circ}}$$

Partie B : droites remarquables.

4. Le milieu de $[AC]$ est $\left(\dfrac{-2+2}{2}\,;\dfrac{1-3}{2}\right)=(0\,;-1)$, et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 4 \\ -4 \end{pmatrix}$, que l'on simplifie en $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$, est normal à $\Delta$ : $$x-y+c=0 \quad \text{avec} \quad 0+1+c=0 \quad \text{soit} \quad c=-1$$

5. On remplace par les coordonnées de $B(4\,;3)$ : $$4-3-1=0$$

$$\boxed{B \text{ appartient bien à } \Delta}$$ C'était prévisible : la médiatrice de $[AC]$ est l'ensemble des points équidistants de $A$ et de $C$. Or la question 2 a établi que $BA=BC$, donc $B$ en fait partie.

6. Le milieu de $[AB]$ est $\left(\dfrac{-2+4}{2}\,;\dfrac{1+3}{2}\right)=(1\,;2)$, et $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}$ se simplifie en $\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ : $$3x+y+c=0 \quad \text{avec} \quad 3+2+c=0 \quad \text{soit} \quad c=-5$$

Partie C : cercle circonscrit.

7. On résout : $$\left\{\begin{array}{rcl} x-y &=& 1 \\ 3x+y &=& 5 \end{array}\right.$$ En additionnant les deux lignes : $4x=6$, donc $x=\dfrac{3}{2}$, puis $y=x-1=\dfrac{1}{2}$ : $$\boxed{\Omega\left(\frac{3}{2}\,;\frac{1}{2}\right)}$$

8. $$\Omega A^{2}=\left(-2-\frac{3}{2}\right)^{2}+\left(1-\frac{1}{2}\right)^{2} =\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{49+1}{4}=\frac{25}{2}$$

9. Le point $\Omega$ est donc équidistant des trois sommets : c'est le centre du cercle circonscrit, de rayon $R=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$. $$\boxed{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}+\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{25}{2}}$$ Ce cercle est tracé en ocre sur la figure de la question 1.