Exercice 31 Vrai ou faux

1. Vraie. C'est la symétrie du produit scalaire, énoncée à la proposition 6. Elle se lit aussi sur l'expression analytique : $xx'+yy'=x'x+y'y$.

2. Fausse. C'est le point le plus important du chapitre : deux vecteurs non nuls peuvent avoir un produit scalaire nul. Contre-exemple avec $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ : $$\vec{u}\cdot\vec{v}=1\times 0+0\times 1=0$$ et pourtant aucun des deux n'est nul : ils sont simplement orthogonaux.

3. Vraie. D'après la proposition 1, $\vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^{2}$, et un carré est toujours positif.

4. Vraie. Le signe de $\vec{u}\cdot\vec{v}$ est celui de $\cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)$, qui est strictement positif exactement lorsque la mesure principale appartient à $\left]-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{\pi}{2}\right[$.

5. Fausse. Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel, ce qui explique d'ailleurs son nom : un scalaire. C'est ce qui le distingue du produit vectoriel évoqué dans l'introduction du cours.

6. Fausse. Cette formule n'est valable que dans un repère orthonormé. C'est une hypothèse explicite de la proposition 5, et elle est indispensable : sa démonstration repose sur le fait que les vecteurs de base sont unitaires et orthogonaux.

7. Fausse. L'exercice 27 en donne deux contre-exemples : l'équation $x^{2}+y^{2}-6x+9=0$ décrit un point unique, et $x^{2}+y^{2}+2x+4y+10=0$ décrit l'ensemble vide.

8. Vraie. D'après l'exercice 18 : $$(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})=\|\vec{u}\|^{2}-\|\vec{v}\|^{2}=0$$ puisque les deux normes sont égales.

9. Vraie. On calcule le produit scalaire des deux vecteurs normaux : $$2\times 3+3\times(-2)=6-6=0$$ Les vecteurs normaux étant orthogonaux, les droites le sont aussi.

10. Vraie. On a $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times\cos\left(\widehat{BAC}\right)$. Les longueurs étant positives, le produit est négatif si et seulement si le cosinus l'est, c'est-à-dire si et seulement si l'angle est obtus.