ExercicePremière, chapitre 7 — Produit scalaire · Exercices de synthèse

Exercice 30 QCM

QCMDémonstration

Pour chaque question, une seule réponse est exacte. La justifier. Le plan est muni d'un repère orthonormé.

Question	Réponse A	Réponse B	Réponse C
1. Si $\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}$ , alors $\vec{u}\cdot\vec{v}$ vaut :	$1$	$11$	$-1$
2. Si $\\|\vec{u}\\|=4$ , $\\|\vec{v}\\|=3$ et $(\vec{u},\vec{v})=\dfrac{\pi}{3}$ , alors $\vec{u}\cdot\vec{v}$ vaut :	$6$	$12$	$-6$
3. Pour tout vecteur $\vec{u}$ , le produit $\vec{u}\cdot\vec{u}$ vaut :	$\\|\vec{u}\\|$	$\\|\vec{u}\\|^{2}$	$0$
4. Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire vaut :	$1$	$0$	$-1$
5. Un vecteur normal à la droite $4x-3y+7=0$ est :	$\begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix}$	$\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$	$\begin{pmatrix} -3 \\ -4 \end{pmatrix}$
6. Le cercle d'équation $(x+1)^{2}+(y-2)^{2}=9$ a pour centre :	$(1\,;-2)$	$(-1\,;2)$	$(-1\,;-2)$
7. Le cercle d'équation $(x-3)^{2}+(y+1)^{2}=5$ a pour rayon :	$5$	$25$	$\sqrt{5}$
8. Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont non nuls et $\vec{u}\cdot\vec{v}=-\\|\vec{u}\\|\times\\|\vec{v}\\|$ , alors ils sont :	orthogonaux	colinéaires de même sens	colinéaires de sens contraire
9. Dans un carré $ABCD$ de côté $2$ , $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ vaut :	$0$	$4$	$4\sqrt{2}$
10. La droite d'équation $x=3$ admet pour vecteur normal :	$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$	$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$	$\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}$

Corrigé

Question	Réponse	Justification
1	A	$3\times 2+(-1)\times 5=6-5=1$ . La réponse B additionnerait les produits sans tenir compte du signe.
2	A	$4\times 3\times\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=12\times\frac{1}{2}=6$ . La réponse B oublie le cosinus.
3	B	C'est la proposition 1 : $\vec{u}\cdot\vec{u}=\\|\vec{u}\\|\times\\|\vec{u}\\| \times\cos(0)=\\|\vec{u}\\|^{2}$ .
4	B	Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si le cosinus de leur angle est nul, donc si et seulement si leur produit scalaire est nul.
5	A	Pour $ax+by+c=0$ , le vecteur normal est $\binom{a}{b}$ . Le vecteur $\binom{3}{4}$ est ici directeur : c'est le piège de la question.
6	B	L'équation $(x+1)^{2}=(x-(-1))^{2}$ correspond à une abscisse de centre égale à $-1$ , et $(y-2)^{2}$ à une ordonnée égale à $2$ .
7	C	Le second membre vaut $R^{2}$ , donc $R=\sqrt{5}$ et non $5$ .
8	C	C'est le cas d'égalité $\cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)=-1$ , obtenu lorsque l'angle vaut $\pi$ .
9	B	$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\times 2\sqrt{2}\times\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) =4$ . On peut aussi projeter $C$ sur $(AB)$ en $B$ : le produit vaut $AB^{2}=4$ .
10	A	L'équation s'écrit $1\times x+0\times y-3=0$ , d'où le vecteur normal $\binom{1}{0}$ . Le vecteur $\binom{3}{0}$ convient aussi, mais il est colinéaire à $\binom{1}{0}$ et la réponse A est la forme attendue.

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