Exercice 29

1. (a) Le cercle a pour centre $O$ et pour rayon $5$ ; la droite passe par $(0\,;1)$ et a pour coefficient directeur $1$.

(b) On remplace $y$ par $x+1$ dans l'équation du cercle : $$\begin{aligned} x^{2}+(x+1)^{2}=25 &\iff x^{2}+x^{2}+2x+1=25 \\ &\iff 2x^{2}+2x-24=0 \\ &\iff x^{2}+x-12=0 \end{aligned}$$ Le discriminant vaut $\Delta=1+48=49$, d'où $\sqrt{\Delta}=7$ et : $$x=\frac{-1-7}{2}=-4 \qquad \text{ou} \qquad x=\frac{-1+7}{2}=3$$ En reportant dans $y=x+1$ : $$\boxed{\text{Les points d'intersection sont } (-4\,;-3) \text{ et } (3\,;4)}$$

2. (a) La droite $d'$ a pour vecteur normal $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$, donc pour vecteur directeur $\begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix}$. La perpendiculaire à $d'$ passant par $\Omega(1\,;2)$ admet donc ce dernier pour vecteur normal : $$4x-3y+c=0 \quad \text{avec} \quad 4-6+c=0 \quad \text{soit} \quad c=2$$ On résout alors : $$\left\{\begin{array}{rcl} 3x+4y &=& 5 \\ 4x-3y &=& -2 \end{array}\right.$$ En multipliant la première ligne par $3$ et la seconde par $4$, puis en additionnant : $25x=15-8=7$, d'où $x=\dfrac{7}{25}$, puis $y=\dfrac{26}{25}$ : $$\boxed{H\left(\frac{7}{25}\,;\frac{26}{25}\right)}$$

(b) $$\Omega H=\sqrt{\left(1-\frac{7}{25}\right)^{2}+\left(2-\frac{26}{25}\right)^{2}} =\sqrt{\left(\frac{18}{25}\right)^{2}+\left(\frac{24}{25}\right)^{2}} =\frac{\sqrt{324+576}}{25}=\frac{30}{25}$$

$$\boxed{\Omega H=\frac{6}{5}=1{,}2}$$ Comme $1{,}2<3=R$, la droite passe à l'intérieur du cercle : $$\boxed{d' \text{ coupe } \mathcal{C}' \text{ en deux points : elle est sécante}}$$

3. La droite $d''$ a le même vecteur normal que $d'$ : la perpendiculaire issue de $\Omega$ est donc encore $4x-3y+2=0$. On résout : $$\left\{\begin{array}{rcl} 3x+4y &=& -4 \\ 4x-3y &=& -2 \end{array}\right.$$ Par la même combinaison, $25x=-12-8=-20$, d'où $x=-\dfrac{4}{5}$, puis $y=-\dfrac{2}{5}$. On calcule alors : $$\Omega H=\sqrt{\left(1+\frac{4}{5}\right)^{2}+\left(2+\frac{2}{5}\right)^{2}} =\sqrt{\left(\frac{9}{5}\right)^{2}+\left(\frac{12}{5}\right)^{2}} =\frac{\sqrt{81+144}}{5}=\frac{15}{5}=3$$ Cette distance est exactement égale au rayon : $$\boxed{d'' \text{ est tangente à } \mathcal{C}', \text{ au point de contact } H\left(-\frac{4}{5}\,;-\frac{2}{5}\right)}$$