Exercice 28

1. Les points d'où l'on voit $[AB]$ sous un angle droit semblent décrire un cercle passant par $A$ et par $B$. La figure obtenue à la question 6 le confirme.

2. $$\boxed{\overrightarrow{MA}\begin{pmatrix} -1-x \\ 2-y \end{pmatrix} \qquad ; \qquad \overrightarrow{MB}\begin{pmatrix} 5-x \\ 4-y \end{pmatrix}}$$

3. On écrit le produit scalaire puis on développe : $$\begin{aligned} \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} &= (-1-x)(5-x)+(2-y)(4-y) \\ &= -5+x-5x+x^{2}+8-2y-4y+y^{2} \\ &= x^{2}+y^{2}-4x-6y+3 \end{aligned}$$

4. On procède comme à l'exercice 27 : $$x^{2}+y^{2}-4x-6y+3=0 \iff (x-2)^{2}-4+(y-3)^{2}-9+3=0 \iff (x-2)^{2}+(y-3)^{2}=10$$

5. Le milieu de $[AB]$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{-1+5}{2}\,;\dfrac{2+4}{2}\right) =(2\,;3)$ : c'est bien $\Omega$. Par ailleurs $AB=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}$, donc : $$\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{40}}{2} \qquad \text{et} \qquad \left(\frac{AB}{2}\right)^{2}=\frac{40}{4}=10=R^{2}$$

$$\boxed{\mathcal{E} \text{ est le cercle de diamètre } [AB]}$$ On retrouve ainsi une propriété connue depuis le collège : $$\boxed{\begin{array}{c} \text{Un point } M \text{ distinct de } A \text{ et } B \text{ voit } [AB] \text{ sous un angle droit} \\[1mm] \text{si et seulement s'il appartient au cercle de diamètre } [AB] \end{array}}$$

6. Voici la figure complétée.

On vérifie sur un exemple : pour $M(1\,;6)$, on a $\overrightarrow{MA}\begin{pmatrix} -2 \\ -4 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{MB}\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}$, dont le produit scalaire vaut $-8+8=0$. Le point $M$ appartient bien à $\mathcal{E}$.