Exercice 27

La méthode est toujours la même : on regroupe les termes en $x$ d'une part, en $y$ d'autre part, et l'on complète chaque groupe pour reconnaître le début d'une identité remarquable.

1. $$\begin{aligned} x^{2}+y^{2}-4x+6y-3=0 &\iff \underbrace{x^{2}-4x+4}_{=(x-2)^{2}}-4+\underbrace{y^{2}+6y+9}_{=(y+3)^{2}}-9-3=0 \\ &\iff (x-2)^{2}+(y+3)^{2}=16 \end{aligned}$$

2. $$\begin{aligned} x^{2}+y^{2}+2x-8y+1=0 &\iff (x+1)^{2}-1+(y-4)^{2}-16+1=0 \\ &\iff (x+1)^{2}+(y-4)^{2}=16 \end{aligned}$$

3. $$x^{2}+y^{2}-6x+9=0 \iff (x-3)^{2}-9+y^{2}+9=0 \iff (x-3)^{2}+y^{2}=0$$ Une somme de deux carrés est nulle si et seulement si chacun l'est, donc $x=3$ et $y=0$ : $$\boxed{\text{Ce n'est pas un cercle : l'ensemble se réduit au seul point } (3\,;0)}$$ On peut voir cela comme un cercle de rayon nul.

4. $$\begin{aligned} x^{2}+y^{2}+2x+4y+10=0 &\iff (x+1)^{2}-1+(y+2)^{2}-4+10=0 \\ &\iff (x+1)^{2}+(y+2)^{2}=-5 \end{aligned}$$ Une somme de deux carrés ne peut pas être négative : $$\boxed{\text{Ce n'est pas un cercle : aucun point ne convient, l'ensemble est vide}}$$

5. $$\begin{aligned} x^{2}+y^{2}-x-3y=0 &\iff \left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1}{4} +\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{9}{4}=0 \\ &\iff \left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{10}{4} \end{aligned}$$

$$\boxed{\text{Cercle de centre } \left(\frac{1}{2}\,;\frac{3}{2}\right) \text{ et de rayon } \frac{\sqrt{10}}{2}\approx 1{,}58}$$ On remarque au passage que ce cercle passe par l'origine, ce qui se lit directement sur l'équation : $x=y=0$ la vérifie.