Exercice 34

Partie A : le théorème d'Al-Kashi.

1. Par la relation de Chasles, $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}$. Or $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$, donc : $$\boxed{\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}}$$

2. On développe la norme au carré, comme à l'exercice 14 : $$\begin{aligned} BC^{2} &= \left\|\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right\|^{2} \\ &= \left\|\overrightarrow{AC}\right\|^{2}-2\,\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB} +\left\|\overrightarrow{AB}\right\|^{2} \end{aligned}$$

3. Il reste à remplacer le produit scalaire par son expression géométrique, $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times\cos(\alpha)=cb\cos(\alpha)$ : $$\boxed{a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos(\alpha)}$$

4. Si $\alpha=\dfrac{\pi}{2}$, alors $\cos(\alpha)=0$ et le dernier terme disparaît : $$a^{2}=b^{2}+c^{2}$$

$$\boxed{\text{On retrouve le théorème de Pythagore}}$$ Le terme $-2bc\cos(\alpha)$ mesure ainsi l'écart à l'angle droit : négatif si $\alpha$ est aigu, positif s'il est obtus.

Partie B : applications.

5. Avec $b=AC=5$, $c=AB=7$ et $\alpha=60^{\circ}$ : $$BC^{2}=25+49-2\times 5\times 7\times\frac{1}{2}=74-35=39$$

6. On isole le cosinus dans la formule : $$\cos(\alpha)=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=\frac{36+64-49}{2\times 6\times 8} =\frac{51}{96}=\boxed{\frac{17}{32}}$$ Comme $\dfrac{17}{32}=0{,}53125$ : $$\boxed{\widehat{BAC}\approx 57{,}9^{\circ}}$$

7. Le randonneur avance d'abord vers le nord, puis tourne de $50^{\circ}$ vers l'est : l'angle intérieur du triangle en $B$ vaut donc : $$\widehat{ABC}=180^{\circ}-50^{\circ}=130^{\circ}$$

Le théorème d'Al-Kashi appliqué au sommet $B$ donne alors : $$AC^{2}=BA^{2}+BC^{2}-2\times BA\times BC\times\cos\left(\widehat{ABC}\right)$$

$$\boxed{AC\approx 6{,}36 \text{ km}}$$ Le cosinus étant négatif, le dernier terme augmente la distance : c'est logique, le randonneur s'éloigne de son point de départ en ne tournant que de $50^{\circ}$.