Exercice 35

1. Avec $M(x\,;y)$, on a $\overrightarrow{MA}\begin{pmatrix} -x \\ -y \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{MB}\begin{pmatrix} 4-x \\ -y \end{pmatrix}$, d'où : $$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=-x(4-x)+(-y)(-y)=x^{2}-4x+y^{2}$$ L'équation $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=k$ s'écrit donc $x^{2}-4x+y^{2}=k$, et l'on complète le carré : $$(x-2)^{2}-4+y^{2}=k$$

2. On note $I(2\,;0)$, qui est le milieu de $[AB]$.

(a) $k=0$ : le second membre vaut $4$. $$\boxed{\text{cercle de centre } I(2\,;0) \text{ et de rayon } 2}$$ C'est le cercle de diamètre $[AB]$, conformément à l'exercice 28.

(b) $k=5$ : le second membre vaut $9$. $$\boxed{\text{cercle de centre } I(2\,;0) \text{ et de rayon } 3}$$

(c) $k=-4$ : le second membre vaut $0$, donc $(x-2)^{2}+y^{2}=0$. $$\boxed{\mathcal{E}_{-4} \text{ se réduit au seul point } I(2\,;0)}$$

(d) $k=-8$ : le second membre vaut $-4$, or une somme de carrés ne peut être négative. $$\boxed{\mathcal{E}_{-8}=\varnothing}$$

3. Voici les deux cercles.

4. Le second membre $k+4$ doit être positif ou nul pour que l'ensemble ne soit pas vide : $$\boxed{\begin{array}{ll} \text{si } k>-4 & : \; \mathcal{E}_{k} \text{ est le cercle de centre } I \text{ et de rayon } \sqrt{k+4} \\[1mm] \text{si } k=-4 & : \; \mathcal{E}_{k}=\{I\} \\[1mm] \text{si } k<-4 & : \; \mathcal{E}_{k}=\varnothing \end{array}}$$ On remarque que $-4=-\dfrac{AB^{2}}{4}$, puisque $AB=4$.

5. Le point $I$ étant le milieu de $[AB]$, on a $\overrightarrow{IB}=-\overrightarrow{IA}$. En décomposant : $$\begin{aligned} \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} &= \left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)\cdot\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right) \\ &= \left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)\cdot\left(\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IA}\right) \\ &= \left\|\overrightarrow{MI}\right\|^{2}-\left\|\overrightarrow{IA}\right\|^{2} \end{aligned}$$ la dernière égalité étant celle de l'exercice 18. Or $IA=\dfrac{AB}{2}$ : $$\boxed{\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=MI^{2}-\frac{AB^{2}}{4}}$$

6. L'équation $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=k$ devient alors, pour deux points $A$ et $B$ quelconques : $$MI^{2}=k+\frac{AB^{2}}{4}$$

$$\boxed{\begin{array}{ll} \text{si } k>-\dfrac{AB^{2}}{4} & : \; \text{cercle de centre } I \text{ et de rayon } \sqrt{k+\dfrac{AB^{2}}{4}} \\[3mm] \text{si } k=-\dfrac{AB^{2}}{4} & : \; \text{le point } I \text{ seul} \\[2mm] \text{si } k<-\dfrac{AB^{2}}{4} & : \; \text{l'ensemble vide} \end{array}}$$ On retrouve exactement la discussion de la question 4, mais cette fois sans aucun repère : le résultat est purement géométrique, et le centre est toujours le milieu de $[AB]$.