Exercice 13

1. $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ : $$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=4\times(-1)+2\times 2=-4+4=0$$

$$\boxed{\text{Le triangle } ABC \text{ est rectangle en } A}$$ Vérification par Pythagore : $AB=\sqrt{20}$, $AC=\sqrt{5}$ et $BC=\sqrt{25}=5$, donc $$AB^{2}+AC^{2}=20+5=25=BC^{2}$$ L'égalité de Pythagore est bien satisfaite.

2. $\overrightarrow{CA}\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{CB}\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix}$ : $$\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=-4+4=0$$ Le triangle est donc rectangle en $C$. De plus $CA=\sqrt{8}=2\sqrt{2}=CB$ : $$\boxed{\text{Le triangle } ABC \text{ est rectangle et isocèle en } C}$$

3. $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} -1 \\ -3 \end{pmatrix}$. Aucun des trois produits scalaires n'est nul : $$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=6-2=4 \quad ; \quad \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=3+3=6 \quad ; \quad \overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=-2+6=4$$ Le triangle n'est donc pas rectangle. En revanche : $$AB=\sqrt{10} \quad ; \quad AC=\sqrt{8}=2\sqrt{2} \quad ; \quad BC=\sqrt{10}$$