ExercicePremière, chapitre 7 — Produit scalaire · Approche analytique

Exercice 12

Calcul

Le produit scalaire admet deux expressions : l'une géométrique, l'autre avec les coordonnées. En les égalant, on obtient l'angle entre deux vecteurs : $\cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}} {\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|}$

1. Déterminer la mesure exacte de l'angle $(\vec{u},\vec{v})$ pour $\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ .

2. Même question pour $\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} -1 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix}$ .

3. On donne $A(0\,;0)$ , $B(4\,;0)$ et $C(1\,;3)$ . Après avoir fait une figure, déterminer une valeur approchée au dixième de degré de l'angle $\widehat{BAC}$ .

Corrigé

1. $\vec{u}\cdot\vec{v}=3\times 1+1\times 2=5$ , $\|\vec{u}\|=\sqrt{10}$ et $\|\vec{v}\|=\sqrt{5}$ , donc : $\cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)=\frac{5}{\sqrt{10}\times\sqrt{5}}=\frac{5}{\sqrt{50}} =\frac{5}{5\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

\boxed{\left(\vec{u},\vec{v}\right)=\frac{\pi}{4}}

2. $\vec{u}\cdot\vec{v}=2\times(-1)+0\times\sqrt{3}=-2$ , $\|\vec{u}\|=2$ et $\|\vec{v}\|=\sqrt{1+3}=2$ : $\cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)=\frac{-2}{2\times 2}=-\frac{1}{2} \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{\left(\vec{u},\vec{v}\right)=\frac{2\pi}{3}}$

3. On a $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ , donc : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=4\times 1+0\times 3=4 \quad ; \quad AB=4 \quad ; \quad AC=\sqrt{10}$

$\cos\left(\widehat{BAC}\right)=\frac{4}{4\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}} \approx 0{,}3162$ La calculatrice donne alors : $\boxed{\widehat{BAC}\approx 71{,}6^{\circ}}$

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Dans l'édifice

Produit scalaire et inégalité de Cauchy-Schwarz Normes et topologie associée

Thèmes

produit scalaire, norme, angle et cosinus, expression analytique

Notions

norme, produit scalaire