ExercicePremière, chapitre 7 — Produit scalaire · Approche analytique

Exercice 11

Calcul

1. Les vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}$ sont-ils orthogonaux ?

2. Même question pour $\vec{u}\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$ .

3. Déterminer le réel $m$ pour que $\vec{u}\begin{pmatrix} m \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}$ soient orthogonaux.

4. Déterminer le réel $m$ pour que $\vec{u}\begin{pmatrix} m \\ m+1 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}$ soient orthogonaux.

5. On donne $A(1\,;2)$ , $B(3\,;m)$ et $C(-1\,;0)$ . Déterminer $m$ pour que le triangle $ABC$ soit rectangle en $A$ .

Corrigé

1. $3\times 4+(-2)\times 6=12-12=0$ : $\boxed{\vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ sont orthogonaux}}$

2. $5\times 2+1\times(-3)=10-3=7\neq 0$ : $\boxed{\vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ ne sont pas orthogonaux}}$

3. On résout $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ : $m\times 4+3\times(-2)=0 \iff 4m-6=0 \iff \boxed{m=\frac{3}{2}}$

4. $m\times 2+(m+1)\times(-4)=0 \iff 2m-4m-4=0 \iff -2m=4 \iff \boxed{m=-2}$

5. Le triangle est rectangle en $A$ si et seulement si $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0$ . Or $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ m-2 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \end{pmatrix}$ : $2\times(-2)+(m-2)\times(-2)=-4-2m+4=-2m$

$-2m=0 \iff \boxed{m=0}$ Le point $B$ a alors pour coordonnées $(3\,;0)$ .

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Dans l'édifice

Produit scalaire et inégalité de Cauchy-Schwarz

Thèmes

angle et cosinus, orthogonalité

Notions

produit scalaire