ExercicePremière, chapitre 7 — Produit scalaire · Approche analytique

Exercice 10

Calcul

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(-1\,;2)$ , $B(3\,;4)$ et $C(2\,;-1)$ .

1. Placer ces trois points dans un repère.

2. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BC}$ .

3. Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ , $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}$ .

4. Calculer les longueurs $AB$ , $AC$ et $BC$ . Le triangle $ABC$ semble-t-il particulier ?

Corrigé

1. Voici la figure.

2. On soustrait les coordonnées du point de départ à celles du point d'arrivée : $\boxed{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} \quad ; \quad \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 3 \\ -3 \end{pmatrix} \quad ; \quad \overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} -1 \\ -5 \end{pmatrix}}$

3. $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=4\times 3+2\times(-3)=12-6=\boxed{6}$ Pour le deuxième, il faut $\overrightarrow{BA}\begin{pmatrix} -4 \\ -2 \end{pmatrix}$ : $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=(-4)\times(-1)+(-2)\times(-5)=4+10=\boxed{14}$ Et avec $\overrightarrow{CA}\begin{pmatrix} -3 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{CB}\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix}$ : $\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=-3\times 1+3\times 5=-3+15=\boxed{12}$

4. $AB=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=\boxed{\sqrt{20}=2\sqrt{5}\approx 4{,}47}$

AC=\sqrt{3^{2}+(-3)^{2}}=\boxed{\sqrt{18}=3\sqrt{2}\approx 4{,}24}

$BC=\sqrt{(-1)^{2}+(-5)^{2}}=\boxed{\sqrt{26}\approx 5{,}10}$ Les trois longueurs sont différentes et aucun des trois produits scalaires n'est nul : $\boxed{\text{le triangle } ABC \text{ n'a rien de particulier}}$

Énoncé PDF, p. 4 Corrigé PDF, p. 5 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Produit scalaire et inégalité de Cauchy-Schwarz Normes et topologie associée

Thèmes

produit scalaire, norme, angle et cosinus, expression analytique

Notions

norme, produit scalaire