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ExercicePremière, chapitre 7 — Produit scalaire · Propriétés du produit scalaire

Exercice 14

Calcul

Soient u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} et w⃗\vec{w} trois vecteurs du plan. Développer et réduire les expressions suivantes, en utilisant u⃗⋅u⃗=∥u⃗∥2\vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^{2}.

a) (u⃗+v⃗)⋅(u⃗−v⃗)(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})

b) (u⃗+v⃗)⋅(u⃗+v⃗)(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v})

c) (2u⃗−3v⃗)⋅(u⃗+v⃗)(2\vec{u}-3\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v})

d) (u⃗−v⃗)⋅(u⃗−v⃗)(\vec{u}-\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})

e) (u⃗+v⃗+w⃗)⋅u⃗(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w})\cdot\vec{u}

f) (AB→+AC→)⋅(AB→−AC→)\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\cdot\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)

Corrigé

On développe comme avec des nombres, en utilisant la bilinéarité et la symétrie u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}.

a) (u⃗+v⃗)⋅(u⃗−v⃗)=u⃗⋅u⃗−u⃗⋅v⃗+v⃗⋅u⃗−v⃗⋅v⃗=∥u⃗∥2−∥v⃗∥2(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})=\vec{u}\cdot\vec{u}-\vec{u}\cdot\vec{v} +\vec{v}\cdot\vec{u}-\vec{v}\cdot\vec{v}=\boxed{\|\vec{u}\|^{2}-\|\vec{v}\|^{2}} Les deux termes croisés se sont éliminés grâce à la symétrie.

b) (u⃗+v⃗)⋅(u⃗+v⃗)=∥u⃗∥2+2 u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v}) =\boxed{\|\vec{u}\|^{2}+2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^{2}}

c) (2u⃗−3v⃗)⋅(u⃗+v⃗)=2 u⃗⋅u⃗+2 u⃗⋅v⃗−3 v⃗⋅u⃗−3 v⃗⋅v⃗=2∥u⃗∥2−u⃗⋅v⃗−3∥v⃗∥2\begin{aligned} (2\vec{u}-3\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v}) &= 2\,\vec{u}\cdot\vec{u}+2\,\vec{u}\cdot\vec{v}-3\,\vec{v}\cdot\vec{u} -3\,\vec{v}\cdot\vec{v} \\ &= \boxed{2\|\vec{u}\|^{2}-\vec{u}\cdot\vec{v}-3\|\vec{v}\|^{2}} \end{aligned}

d) (u⃗−v⃗)⋅(u⃗−v⃗)=∥u⃗∥2−2 u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2(\vec{u}-\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v}) =\boxed{\|\vec{u}\|^{2}-2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^{2}}

e) (u⃗+v⃗+w⃗)⋅u⃗=∥u⃗∥2+u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w})\cdot\vec{u} =\boxed{\|\vec{u}\|^{2}+\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}}

f) En appliquant a) avec u⃗=AB→\vec{u}=\overrightarrow{AB} et v⃗=AC→\vec{v}=\overrightarrow{AC} : (AB→+AC→)⋅(AB→−AC→)=AB2−AC2\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\cdot\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right) =\boxed{AB^{2}-AC^{2}}

Énoncé PDF, p. 5Corrigé PDF, p. 8Toute la feuilleLe cours

Dans l'édifice

Produit scalaire et inégalité de Cauchy-SchwarzNormes et topologie associée

Thèmes

produit scalaire, norme

Notions

norme, produit scalaire

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