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ExercicePremière, chapitre 7 — Produit scalaire · Propriétés du produit scalaire

Exercice 15

DémonstrationCalcul

On donne ∥u⃗∥=3\|\vec{u}\|=3, ∥v⃗∥=5\|\vec{v}\|=5 et u⃗⋅v⃗=−4\vec{u}\cdot\vec{v}=-4. Calculer :

a) ∥u⃗+v⃗∥2\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}, puis ∥u⃗+v⃗∥\|\vec{u}+\vec{v}\|

b) ∥u⃗−v⃗∥2\|\vec{u}-\vec{v}\|^{2}, puis ∥u⃗−v⃗∥\|\vec{u}-\vec{v}\|

c) (2u⃗+v⃗)⋅(u⃗−3v⃗)(2\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-3\vec{v})

d) ∥u⃗+2v⃗∥2\|\vec{u}+2\vec{v}\|^{2}

L'angle (u⃗,v⃗)(\vec{u},\vec{v}) est-il aigu ou obtus ? Justifier sans le calculer.

Corrigé

a) ∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+2 u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2=9+2×(−4)+25=26\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}=\|\vec{u}\|^{2}+2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^{2} =9+2\times(-4)+25=\boxed{26}

∥u⃗+v⃗∥=26≈5,10\boxed{\|\vec{u}+\vec{v}\|=\sqrt{26}\approx 5{,}10}

b) ∥u⃗−v⃗∥2=9−2×(−4)+25=42d’ouˋ∥u⃗−v⃗∥=42≈6,48\|\vec{u}-\vec{v}\|^{2}=9-2\times(-4)+25=\boxed{42} \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{\|\vec{u}-\vec{v}\|=\sqrt{42}\approx 6{,}48}

c) (2u⃗+v⃗)⋅(u⃗−3v⃗)=2∥u⃗∥2−6 u⃗⋅v⃗+u⃗⋅v⃗−3∥v⃗∥2=2∥u⃗∥2−5 u⃗⋅v⃗−3∥v⃗∥2=18−5×(−4)−75=18+20−75=−37\begin{aligned} (2\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-3\vec{v}) &= 2\|\vec{u}\|^{2}-6\,\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{v}-3\|\vec{v}\|^{2} \\ &= 2\|\vec{u}\|^{2}-5\,\vec{u}\cdot\vec{v}-3\|\vec{v}\|^{2} \\ &= 18-5\times(-4)-75=18+20-75=\boxed{-37} \end{aligned}

d) ∥u⃗+2v⃗∥2=∥u⃗∥2+4 u⃗⋅v⃗+4∥v⃗∥2=9−16+100=93\|\vec{u}+2\vec{v}\|^{2}=\|\vec{u}\|^{2}+4\,\vec{u}\cdot\vec{v}+4\|\vec{v}\|^{2} =9-16+100=\boxed{93}

Le produit scalaire vaut −4-4, il est donc négatif : d'après l'exercice 5, l’angle (u⃗,v⃗) est obtus\boxed{\text{l'angle } (\vec{u},\vec{v}) \text{ est obtus}}

Énoncé PDF, p. 6Corrigé PDF, p. 8Toute la feuilleLe cours

Dans l'édifice

Produit scalaire et inégalité de Cauchy-SchwarzNormes et topologie associée

Thèmes

produit scalaire, norme, angle et cosinus

Notions

norme, produit scalaire

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