Exercice 16

1. (a) La relation de Chasles donne $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA} =\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\boxed{\overrightarrow{CB}}$.

(b) On applique la formule avec $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\vec{v}=\overrightarrow{AC}$, sachant que $\|\vec{u}-\vec{v}\|=CB=6$ : $$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\left(AB^{2}+AC^{2}-CB^{2}\right) =\frac{1}{2}\left(49+25-36\right)=\frac{38}{2}=\boxed{19}$$

(c) $$\cos\left(\widehat{BAC}\right)=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{AB\times AC} =\frac{19}{7\times 5}=\frac{19}{35}\approx 0{,}5429$$

2. (a) Dans le parallélogramme $ABCD$, on a $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$, donc par Chasles : $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\boxed{\overrightarrow{AC}}$$

(b) On utilise cette fois la formule $\vec{u}\cdot\vec{v}=\dfrac{1}{2}\left(\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}-\|\vec{u}\|^{2} -\|\vec{v}\|^{2}\right)$ : $$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\left(AC^{2}-AB^{2}-AD^{2}\right) =\frac{1}{2}\left(49-25-9\right)=\boxed{\frac{15}{2}=7{,}5}$$

(c) $$\begin{aligned} BD^{2} &= \left\|\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\right\|^{2} = AD^{2}-2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}+AB^{2} \\ &= 9-2\times 7{,}5+25=19 \end{aligned}$$